Maticová exponenciála

Maticová exponenciála je v matematice maticová funkce na čtvercových maticích, která je obdobou obyčejné exponenciální funkce. Používá se pro řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic. V teorii Lieových grup je maticová exponenciála exponenciální zobrazení mezi maticemi Lieovy algebry a odpovídající Lieovou grupou.

Nechť Šablona:Mvar je reálná nebo komplexní matice Šablona:Math. Exponenciální funkce matice Šablona:Mvar, značená Šablona:Math nebo Šablona:Math, je matice Šablona:Math daná mocninnou řadou

$e^X=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{X}^k$

přičemž $X^0$ se definuje jako jednotková matice $I$ stejné velikosti jako matice $X$.

Výše uvedená řada vždy konverguje, exponenciální funkce matice Šablona:Mvar je tedy korektně definovaná. Pokud Šablona:Mvar je matice 1×1, její maticová exponenciála je opět matice 1×1, jejíž jediný prvek má hodnotu normální exponenciální funkce jediného prvku původní matice Šablona:Mvar.

Vlastnosti

Elementární vlastnosti

Nechť Šablona:Math a Šablona:Math je komplexní matice Šablona:Math a nechť Šablona:Math a Šablona:Math jsou libovolná komplexní čísla. Jednotkovou matici Šablona:Math budeme značit Šablona:Math a nulovou matici 0. Maticová exponenciála splňuje následující vlastnosti.

Následující vlastnosti jsou bezprostředním důsledkem definice maticové exponenciály jako mocninné řady:

• Šablona:Math
• Šablona:Math, kde Šablona:Math označuje transpozici matice Šablona:Math.
• Šablona:Math, kde Šablona:Math označuje hermitovskou transpozici matice Šablona:Math.
• Pokud Šablona:Math je invertovatelná, pak Šablona:Math

Dalším klíčovým výsledkem je:

• Pokud $XY=YX,$ pak $e^X{e}^Y=e^{X+Y}$.

Důkaz této identity je stejný jako důkaz pro standardní mocninnou řadu pro příslušnou identitu pro exponenciální funkci reálných čísel. Tj. podmínka pokud $X$ a $Y$ komutují, se neliší, ať jsou $X$ a $Y$ čísla nebo matice. Je důležité si všimnout, že tato identita obvykle není splněna, pokud $X$ a $Y$ nekomutují (viz Goldenova-Thompsonova nerovnost níže).

Důsledky předchozích identit jsou následující:

• Šablona:Math
• Šablona:Math

Použitím výše uvedených výsledků můžeme snadno ověřit následující tvrzení: Pokud Šablona:Math je symetrická, pak Šablona:Math je také symetrická, a pokud Šablona:Math je antisymetrická, pak Šablona:Math je ortogonální. Pokud Šablona:Math je hermitovská, pak Šablona:Math je také hermitovská, a pokud Šablona:Math je antihermitovská, pak Šablona:Math je unitární.

Laplaceova transformace maticové exponenciály je resolventou,

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-ts}{e}^{tX}dt=(sI-X{)}^{-1}$

pro všechny dostatečně velké kladné hodnoty Šablona:Mvar.

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic

Šablona:Podrobně Jedním z hlavních důvodů pro zavedení maticové exponenciály je její použitelnost pro řešení soustav lineárních obyčejných diferenciálních rovnic. Řešení

$\frac{d}{dt}y(t)=Ay(t),y(0)=y_0,$

kde Šablona:Mvar je konstantní matice, popisuje vztah

$y(t)=e^{At}{y}_0.$

Maticová exponenciála může být také použita pro řešení nehomogenní rovnice

$\frac{d}{dt}y(t)=Ay(t)+z(t),y(0)=y_0.$

příklady jsou níže v části Aplikace.

Pro soustavy diferenciálních rovnic tvaru

$\frac{d}{dt}y(t)=A(t)y(t),y(0)=y_0,$

kde matice Šablona:Mvar není konstantní, nelze řešení zapsat v uzavřeném tvaru, ale Magnusova řada dává řešení ve tvaru nekonečného součtu.

Determinant maticové exponenciály

Podle Jacobiho vzorce pro libovolnou komplexní čtvercovou matici platí následující identita: Šablona:Box-hlava $\det \left(e^A\right)=e^{\mathrm{tr}(A)}$ Šablona:Box-pata Šablona:Clear

Tento vzorec poskytuje výpočetní nástroj a zároveň ukazuje, že maticová exponenciála je vždy regulární maticí. Plyne to z faktu, že pravá strana výše uvedené identity je vždy nenulová, a proto Šablona:Math, z čehož plyne, že Šablona:Math musí být invertovatelná.

Pro matice reálných čísel ze vzorce také plyne, že zobrazení

$\exp :M_n(ℝ)\to \mathrm{G}\mathrm{L}(n,ℝ)$

není surjektivní („na“), na rozdíl od výše uvedeného komplexního případu. To plyne z faktu, že pro reálné matice je pravá strana vzorce vždy kladná, přitom ale existují invertovatelné matice se záporným determinantem.

Reálné symetrické matice

Maticová exponenciála reálné symetrické matice je pozitivně definitní. Nechť $S$ je reálná symetrická matice Šablona:Math a $x\in {ℝ}^n$ sloupcový vektor. Použitím elementární vlastnosti maticové exponenciály a symetrické matice, dostáváme:

$x^T{e}^{S}x=x^T{e}^{S/2}{e}^{S/2}x=x^T(e^{S/2}{)}^T{e}^{S/2}x=(e^{S/2}x{)}^T{e}^{S/2}x=\Vert e^{S/2}x{\Vert }^2\ge 0.$

Protože $e^{S/2}$ je invertovatelná, rovnost platí pouze pro $x=0$, a máme $x^T{e}^{S}x>0$ pro všechna nenulová $x$. Tedy $e^S$ je pozitivně definitní.

Exponenciální funkce součtu matic

Víme, že pro libovolná reálná čísla (skaláry) Šablona:Mvar a Šablona:Mvar vyhovuje exponenciální funkce vztahu Šablona:Math. Totéž je splněno pro komutující matice. Pokud matice Šablona:Mvar a Šablona:Mvar komutují (což znamená, že Šablona:Math), pak

$e^{X+Y}=e^X{e}^Y.$

Pro matice, které nekomutují, však výše uvedená rovnost nemusí vždy platit.

Lieův součinový vzorec

I když Šablona:Mvar a Šablona:Mvar nekomutují, exponenciální funkci Šablona:Math lze vypočítat podle Lieova součinového vzorce

$e^{X+Y}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(e^{\frac{1}{n}X}{e}^{\frac{1}{n}Y}\right)}^n.$

Použití velkého konečného Šablona:Mvar pro výše uvedenou aproximaci je základem Suzukiho-Trotterova rozvoje často používaného v numerickém časovém rozvoji.

Bakerův–Campbellův–Hausdorffův vzorec

V opačném směru, pokud Šablona:Mvar a Šablona:Mvar jsou dostatečně malé (ale ne nutně komutující) matice, máme

$e^X{e}^Y=e^Z,$

kde Šablona:Mvar lze vypočítat jako řadu v komutátoru matic Šablona:Mvar a Šablona:Mvar pomocí Bakerova–Campbellova–Hausdorffova vzorce:

$Z=X+Y+\frac{1}{2}⟨X,Y⟩+\frac{1}{12}⟨X,⟨X,Y⟩]-\frac{1}{12}⟨Y,⟨X,Y⟩]+\cdots ,$

kde zbývající členy jsou vesměs opakované komutátory obsahující Šablona:Mvar a Šablona:Mvar. Pokud matice Šablona:Mvar a Šablona:Mvar komutují, pak všechny komutátory jsou nulové a máme jednoduše Šablona:Math.

Nerovnosti pro exponenciály hermitovských matic

Šablona:Podrobně Pro hermitovské matice tam souvisí s větou o stopě maticových exponenciál.

Pokud Šablona:Mvar a Šablona:Mvar jsou hermitovské matice, pak

$\mathrm{tr}\exp (A+B)\le \mathrm{tr}[\exp (A)\exp (B)].$

Přitom zde není žádný požadavek na komutativitu. Existují protipříklady, které ukazují, že Goldenovu–Thompsonovu nerovnost nelze rozšířit na tři matice, a v obecném případě Šablona:Math není zaručeno, že bude reálná pro hermitovské Šablona:Math, Šablona:Math, Šablona:Math. Elliott H. Lieb však dokázal, že ji lze zobecnit pro tři matice, pokud změníme výraz takto

$\mathrm{tr}\exp (A+B+C)\le \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}t\mathrm{tr}\left[e^A{(e^{-B}+t)}^{-1}{e}^C{(e^{-B}+t)}^{-1}\right].$

Exponenciální zobrazení

Exponenciála matice je vždy regulární matice. Inverzní matice Šablona:Math je Šablona:Math. Jde o obdobu faktu, že exponenciální funkce komplexního čísla je vždy nenulová. Maticová exponenciála nám pak dává zobrazení

$\exp :M_n(ℂ)\to \mathrm{G}\mathrm{L}(n,ℂ)$

z prostoru všech matic n×n do obecné lineární grupy stupně Šablona:Mvar, tj. grupy všech invertovatelných matic n×n. Toto zobrazení je surjektivní, což znamená, že každou invertibilní matici lze zapsat jako exponenciální funkci nějaké jiné matice (k tomu je nutné uvažovat těleso C komplexních čísel, nikoli R).

Pro libovolné dvě matice Šablona:Mvar a Šablona:Mvar,

$\Vert e^{X+Y}-e^X\Vert \le \Vert Y\Vert e^{\Vert X\Vert }{e}^{\Vert Y\Vert },$

kde Šablona:Math označuje libovolnou normu matice. Odtud plyne, že exponenciální zobrazení je spojité a Lipschitzovsky spojité na kompaktní podmnožině Šablona:Math.

zobrazení

$t\mapsto e^{tX},t\in ℝ$

definuje hladkou křivku v obecné lineární grupě, která prochází prvkem identity v Šablona:Math.

Výsledkem je jednoparametrická podgrupa obecné lineární grupy, protože

$e^{tX}{e}^{sX}=e^{(t+s)X}.$

Derivaci této křivky (nebo tečného vektoru) v bodě t popisuje vztah Šablona:Vzorec Derivací pro Šablona:Math je právě matice X, díky čemuž X generuje tuto jednoparametrickou podgrupu.

Obecněji, pro obecný exponent, který závisí na Šablona:Mvar (píšeme Šablona:Math) Šablona:Box-hlava $\frac{d}{dt}{e}^{X(t)}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{\alpha X(t)}\frac{dX(t)}{dt}{e}^{(1-\alpha )X(t)}d\alpha$ Šablona:Box-pata Šablona:Clear

Pokud výše uvedený výraz Šablona:Math vytkneme mimo integrál a integrand rozvineme pomocí Hadamardova lemmatu, můžeme získat následující užitečný výraz pro derivaci maticového exponentu:

$\left(\frac{d}{dt}{e}^{X(t)}\right)e^{-X(t)}=\frac{d}{dt}X(t)+\frac{1}{2!}⟨X(t),\frac{d}{dt}X(t)⟩+\frac{1}{3!}⟨X(t),⟨X(t),\frac{d}{dt}X(t)⟩]+\cdots$

Koeficienty ve výše uvedeném výrazu se liší od koeficientů, které se objevují v exponenciální funkci. Pro výsledek v uzavřeném tvaru, viz derivace exponenciálního zobrazení.

Direkční derivace hermitovských matic

Nechť $X$ je hermitovská matice n×n s navzájem různými vlastními hodnotami. Nechť $X=E\text{diag}(\mathrm{\Lambda })E^{*}$ je její rozklad podle vlastních čísel, kde $E$ je unitární matice, jejíž sloupce jsou vlastní vektory matice $X$, $E^{*}$ je transpozice její konjugované funkce, a $\mathrm{\Lambda }=({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$ vektor odpovídajících vlastních hodnot. Pak pro libovolnou hermitovskou matici $V$ n×n, direkční derivace $\exp :X\to e^X$ v $X$ ve směru $V$ je

$D\exp (X)[V]\triangleq \underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{\epsilon }(e^{X+\epsilon V}-e^X)=E(G\odot \overline{V})E^{*}$

kde $\overline{V}=E^{*}VE$, operátor $\odot$ označuje Hadamardův součin, a pro všechna $1\le i,j\le n$, matice $G$ je definovaný jako

$G_{i,j}=\{\begin{array}{ccc}& \frac{e^{{\lambda }_i}-e^{{\lambda }_j}}{{\lambda }_i-{\lambda }_j}& \text{ pokud }i\ne j,\\ & e^{{\lambda }_i}& \text{ jinak}.\\ \end{array}$

Navíc, pro libovolnou hermitovskou matici $U$ n×n, druhá direkční derivace ve směru $U$ a $V$ je

$D^2\exp (X)⟨U,V⟩\triangleq \underset{{\epsilon }_u\to 0}{\lim }\underset{{\epsilon }_v\to 0}{\lim }\frac{1}{4{\epsilon }_u{\epsilon }_v}(e^{X+{\epsilon }_{u}U+{\epsilon }_{v}V}-e^{X-{\epsilon }_{u}U+{\epsilon }_{v}V}-e^{X+{\epsilon }_{u}U-{\epsilon }_{v}V}+e^{X-{\epsilon }_{u}U-{\epsilon }_{v}V})=EF(U,V)E^{*}$

kde maticová funkce $F$ je definovaná pro všechna $1\le i,j\le n$, protože

$F(U,V{)}_{i,j}=\sum _{k=1}^n{\varphi }_{i,j,k}({\overline{U}}_{ik}{\overline{V}}_{jk}^{*}+{\overline{V}}_{ik}{\overline{U}}_{jk}^{*})$

přičemž

${\varphi }_{i,j,k}=\{\begin{array}{ccc}& \frac{G_{ik}-G_{jk}}{{\lambda }_i-{\lambda }_j}& \text{ pokud }i\ne j,\\ & \frac{G_{ii}-G_{ik}}{{\lambda }_i-{\lambda }_k}& \text{ pokud }i=j\text{ a }k\ne i,\\ & \frac{G_{ii}}{2}& \text{ pokud }i=j=k.\\ \end{array}$

Výpočet maticové exponenciály

Nalezení spolehlivé a přesné metody výpočtu maticová exponenciály je obtížné a dosud je předmětem intenzivního výzkumu jak v matematice tak v numerické matematice. Programy Matlab, GNU Octave a SciPy vesměs používá Padéův approximant. V této části diskutujeme metody, které jsou v principu použitelné na libovolné matice, a které lze pro malé matice provádět explicitně. Následující části popisují metody vhodné pro numerické vyhodnocování pro velké matice.

Diagonalizovatelný případ

Pokud matice je diagonální:

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& a_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_n\end{array}\right),$

pak její exponenciální funkci lze získat aplikací exponenciály na každý prvek na hlavní diagonále:

$e^A=\left(\begin{array}{cccc}{e}^{a_1}& 0& \cdots & 0\\ 0& e^{a_2}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & e^{a_n}\end{array}\right).$

Tento výsledek nám také umožňuje aplikovat exponenciálu na diagonalizovatelné matice. Pokud

Šablona:Math

a Šablona:Math je diagonální, pak

Šablona:Math.

Aplikace Sylvesterova vzorce dává stejný výsledek. (To lze snadno ověřit, pokud si všimneme, že sčítání a násobení, tedy i exponenciála, diagonální matice je ekvivalentní se sčítáním a násobením po prvcích, a tedy exponenciála; konkrétně, „jednorozměrná“ exponenciála je cítili po prvcích pro diagonální případ.)

Příklad : Diagonalizovatelná

Například matice

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 1& 1\end{array}\right)$

lze diagonalizovat jako

$\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 3\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 1& 1\end{array}\right)}^{-1}.$

Tedy,

$e^A=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 1& 1\end{array}\right)e^{\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 3\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 1& 1\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{e}& 0\\ 0& e^3\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 1& 1\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{e^4+1}{2e}& \frac{e^4-1}{e}\\ \frac{e^4-1}{4e}& \frac{e^4+1}{2e}\end{array}\right).$

Nilpotentní případ

Matice Šablona:Mvar je nilpotentní, pokud Šablona:Math pro nějaké celé číslo q. V tomto případě lze maticovou exponenciálu Šablona:Math vypočítat přímo z rozvoje řady, protože řada skončí po konečném počtu členů:

$e^N=I+N+\frac{1}{2}{N}^2+\frac{1}{6}{N}^3+\cdots +\frac{1}{(q-1)!}{N}^{q-1}.$

Protože řada má konečný počet členů, jde o maticový polynom, který lze vypočítat efektivně.

Obecný případ

Použití Jordanova–Chevalleyho rozkladu

Podle Jordanova–Chevalleyho rozkladu lze libovolnou matici X n×n s komplexními prvky vyjádřit jako

$X=A+N$

kde

• A je diagonalizovatelná
• N je nilpotentní
• A komutuje s N

To znamená, že exponenciální funkci X můžeme vypočítat omezením na předchozí dva případy:

$e^X=e^{A+N}=e^A{e}^N.$

Všimněte si, že provedení posledního kroku vyžaduje komutativitu A a N.

Použití Jordanovy normální formy

Pokud těleso je algebraicky uzavřené, lze použít blízce příbuznou metodu, v níž pracujeme s Jordanovou normální formou matice Šablona:Mvar. Za předpokladu, že Šablona:Math kde Šablona:Mvar je Jordanova normální forma matice Šablona:Mvar. Pak

$e^X=P{e}^J{P}^{-1}.$

A také, protože

$\begin{array}{cc}J& =J_{a_1}({\lambda }_1)\oplus J_{a_2}({\lambda }_2)\oplus \cdots \oplus J_{a_n}({\lambda }_n),\\ e^J& =\exp (J_{a_1}({\lambda }_1)\oplus J_{a_2}({\lambda }_2)\oplus \cdots \oplus J_{a_n}({\lambda }_n))\\ & =\exp (J_{a_1}({\lambda }_1))\oplus \exp (J_{a_2}({\lambda }_2))\oplus \cdots \oplus \exp (J_{a_n}({\lambda }_n)).\end{array}$

Proto stačí vědět, jak vypočítat maticovou exponenciálu Jordanova bloku. Každý Jordanův blok však má tvar

$\begin{array}{cccc}& & J_a(\lambda )& =\lambda I+N\\ & \Rightarrow & e^{J_a(\lambda )}& =e^{\lambda I+N}=e^{\lambda }{e}^N.\end{array}$

kde Šablona:Mvar je speciální nilpotentní matice. Maticová exponenciála matice Šablona:Mvar pak je

$e^J=e^{{\lambda }_1}{e}^{N_{a_1}}\oplus e^{{\lambda }_2}{e}^{N_{a_2}}\oplus \cdots \oplus e^{{\lambda }_n}{e}^{N_{a_n}}$

Projekční případ

Pokud Šablona:Mvar je projekční matice (tj. je idempotentní: Šablona:Math), její maticová exponenciála je:

Šablona:Math.

Tento vztah lze rozvojem exponenciální funkce; každá mocnina projekční matice Šablona:Mvar se rovná Šablona:Mvar, kterou tak lze vytknout ze sumy:

$e^P=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{P^k}{k!}=I+\left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\right)P=I+(e-1)P.$

Rotační případ

Pro jednoduché rotace, u nichž kolmé jednotkové vektory Šablona:Math a Šablona:Math určují rovinu, lze rotační matici Šablona:Mvar vyjádřit pomocí podobné exponenciální funkce s generátorem Šablona:Mvar a úhlem Šablona:Mvar.

$\begin{array}{cccc}G& ={𝐛𝐚}^{𝖳}-{𝐚𝐛}^{𝖳}& P& =-G^2={𝐚𝐚}^{𝖳}+{𝐛𝐛}^{𝖳}\\ P^2& =P& PG& =G=GP,\end{array}$

$\begin{array}{cc}R\left(\theta \right)=e^{G\theta }& =I+G\sin (\theta )+G^2(1-\cos (\theta ))\\ & =I-P+P\cos (\theta )+G\sin (\theta ).\\ \end{array}$

Vzorec pro exponenciální funkce plyne z omezení mocniny generátoru Šablona:Mvar v rozvoji řady a identifikaci příslušnou řada koeficienty Šablona:Math a Šablona:Mvar s Šablona:Math a Šablona:Math po řadě. Druhý výraz zde pro Šablona:Math je totéž jako výraz pro Šablona:Math v členu obsahujícím derivace generátoru, Šablona:Math.

Ve dvourozměrném případě, pokud $a=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ a $b=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$, pak $G=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$, $G^2=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$, a

$R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right)=I\cos (\theta )+G\sin (\theta )$

omezuje do standardní matice pro rovina rotace.

Matice Šablona:Math promítá vektor na rovinu Šablona:Math a rotace působí pouze na tuto složku vektoru. Je to možné ilustrovat rotací o Šablona:Math v rovině určené Šablona:Math a Šablona:Math,

$\begin{array}{cccc}𝐚& =\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)& 𝐛& =\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)\end{array}$

$\begin{array}{cccc}G=\frac{1}{\sqrt{5}}& \left(\begin{array}{ccc}0& -1& -2\\ 1& 0& 0\\ 2& 0& 0\end{array}\right)& P=-G^2& =\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 1& 2\\ 0& 2& 4\end{array}\right)\\ P\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)=\frac{1}{5}& \left(\begin{array}{c}5\\ 8\\ 16\end{array}\right)=𝐚+\frac{8}{\sqrt{5}}𝐛& R\left(\frac{\pi }{6}\right)& =\frac{1}{10}\left(\begin{array}{ccc}5\sqrt{3}& -\sqrt{5}& -2\sqrt{5}\\ \sqrt{5}& 8+\sqrt{3}& -4+2\sqrt{3}\\ 2\sqrt{5}& -4+2\sqrt{3}& 2+4\sqrt{3}\end{array}\right)\\ \end{array}$

Nechť Šablona:Math, pak Šablona:Math a její součiny s Šablona:Math a Šablona:Math jsou nula. Toto nám umožňuje vyhodnotit mocniny Šablona:Math.

$\begin{array}{cc}R\left(\frac{\pi }{6}\right)& =N+P\frac{\sqrt{3}}{2}+G\frac{1}{2}\\ R{\left(\frac{\pi }{6}\right)}^2& =N+P\frac{1}{2}+G\frac{\sqrt{3}}{2}\\ R{\left(\frac{\pi }{6}\right)}^3& =N+G\\ R{\left(\frac{\pi }{6}\right)}^6& =N-P\\ R{\left(\frac{\pi }{6}\right)}^{12}& =N+P=I\\ \end{array}$

Vyhodnocování Laurentovou řadou

Díky Cayleyho–Hamiltonově větě lze maticovou exponenciálu vyjádřit jako polynom řádu Šablona:Mvar−1.

Pokud Šablona:Mvar a Šablona:Math jsou nenulové polynomy jedné proměnné, takové, že Šablona:Math, a pokud meromorfní funkce

$f(z)=\frac{e^{tz}-Q_t(z)}{P(z)}$

je celá, pak

$e^{tA}=Q_t(A).$

Pro důkaz stačí znásobit první ze dvou výše uvedených rovnic Šablona:Math a nahradit Šablona:Mvar maticí Šablona:Mvar.

Takový polynom Šablona:Math lze podle Sylvesterova vzorce nalézt takto: Je-li Šablona:Mvar kořen polynomu Šablona:Mvar, pak Šablona:Math lze řešit ze součinu Šablona:Mvar hlavní části Laurentovy řady funkce Šablona:Mvar v Šablona:Mvar: Je úměrný relevantnímu Frobeniovu kovariantu. Pak součet S_t s Q_,t, kde Šablona:Mvar běží přes všechny kořeny polynomu Šablona:Mvar, můžeme považovat za určitý polynom Šablona:Math. Všechny ostatní polynomy Q_t lze získat přičtením násobku polynomu Šablona:Mvar k Šablona:Math. Konkrétně Lagrangeův-Sylvestrův polynom, Šablona:Math, je jediným polynomem Šablona:Math, jehož stupeň je menší než stupeň polynomu Šablona:Mvar.

Příklad: Uvažujme případ libovolné matice 2×2,

$A:=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right).$

Exponenciální funkce matice Šablona:Math musí mít díky Cayleyho–Hamiltonově větě tvar

$e^{tA}=s_0(t)I+s_1(t)A.$

(Pro libovolné komplexní číslo Šablona:Mvar a libovolnou C-algebru Šablona:Mvar opět značíme symbolem Šablona:Mvar součin Šablona:Mvar s jednotkou algebry Šablona:Mvar.)

Nechť Šablona:Mvar a Šablona:Mvar jsou kořeny charakteristického polynomu Šablona:Mvar,

$P(z)=z^2-(a+d)z+ad-bc=(z-\alpha )(z-\beta ).$

Pak máme

$S_t(z)=e^{\alpha t}\frac{z-\beta }{\alpha -\beta }+e^{\beta t}\frac{z-\alpha }{\beta -\alpha },$

tedy

$\begin{array}{cccc}{s}_0(t)& =\frac{\alpha e^{\beta t}-\beta e^{\alpha t}}{\alpha -\beta },& s_1(t)& =\frac{e^{\alpha t}-e^{\beta t}}{\alpha -\beta }\end{array}$

pro Šablona:Math; zatímco pokud Šablona:Math,

$S_t(z)=e^{\alpha t}(1+t(z-\alpha )),$

takže

$\begin{array}{cccc}{s}_0(t)& =(1-\alpha t)e^{\alpha t},& s_1(t)& =t{e}^{\alpha t}.\end{array}$

Pokud definujeme

$\begin{array}{cccc}s& \equiv \frac{\alpha +\beta }{2}=\frac{\mathrm{tr}A}{2},& q& \equiv \frac{\alpha -\beta }{2}=\pm \sqrt{-\det (A-sI)},\end{array}$

dotáváme

$\begin{array}{cccc}{s}_0(t)& =e^{st}(\cosh (qt)-s\frac{\sinh (qt)}{q}),& s_1(t)& =e^{st}\frac{\sinh (qt)}{q},\end{array}$

kde Šablona:Math je rovno nule, pokud Šablona:Math, a rovno Šablona:Mvar pokud Šablona:Math.

Tedy Šablona:Box-hlava $e^{tA}=e^{st}((\cosh (qt)-s\frac{\sinh (qt)}{q})I+\frac{\sinh (qt)}{q}A)$ Šablona:Box-pata Šablona:Clear

Matici Šablona:Mvar lze tedy, jak je ukázáno výše, rozložit na součet dvou vzájemně komutujících složek, z nichž jedna má stopu a druhá ne:

$A=sI+(A-sI),$

maticovou exponenciálu lze vyjádřit obyčejným součinem exponenciál obou složek. Tento vzorec se často používá ve fyzice, protože je analogií Eulerova vzorce pro Pauliho spinové matice, což jsou rotace doubletové reprezentace grupy SU(2).

Polynom Šablona:Math je možné také zadat následující „interpolační“ charakterizací. Definujme Šablona:Math, a Šablona:Math. Pak Šablona:Math je jednoznačný stupeň Šablona:Math polynomu, který splňuje Šablona:Math, kdykoli Šablona:Mvar je menší než násobnost kořene Šablona:Mvar polynomu Šablona:Mvar. Zjevně můžeme předpokládat, že Šablona:Mvar je minimální polynom matice Šablona:Mvar. Dále předpokládejme, že Šablona:Mvar je diagonalizovatelná matice. Konkrétně kořeny polynomu Šablona:Mvar jsou jednoduché, a „interpolační“ charakterizace indikuje, že Šablona:Math je dáno Lagrangeovým interpolačním vzorcem, takže jde o Lagrangeův−Sylvesterův polynom.

Pro opačný extrém, pokud Šablona:Math, pak

$S_t=e^{at}\sum _{k=0}^{n-1}\frac{t^k}{k!}(z-a{)}^k.$

Nejjednodušší případ nepokrytý výše uvedeným pozorováním je, když $P=(z-a{)}^2(z-b)$ pro Šablona:Math, což dává

$S_t=e^{at}\frac{z-b}{a-b}(1+(t+\frac{1}{b-a})(z-a))+e^{bt}\frac{(z-a{)}^2}{(b-a{)}^2}.$

Vyhodnocování použitím Sylvesterova vzorce

Praktický rychlý výpočet výše uvedeného se omezuje na následující velmi rychlé kroky. Připomeňme, že matice Šablona:Math velikosti n×n je lineární kombinací prvních Šablona:Mvar−1 mocnin matice Šablona:Mvar podle Cayleyho–Hamiltonovy věty. Pro diagonalizovatelné matice, jak je ukázáno výše, např. v případě matice 2×2, dává Sylvesterův vzorec Šablona:Math, kde Šablona:Mvars jsou Frobeniovy kovarianty matice Šablona:Mvar.

Nejjednodušší však je jednoduše vyřešit tyto matice Šablona:Mvar přímo, a to vyhodnocením tohoto výrazu a jeho první derivace v bodě Šablona:Math s využitím Šablona:Mvar a Šablona:Mvar, čímž dojdeme ke stejnému výsledku jako výše.

Tento jednoduchý postup však podle zobecnění, které učinil Buchheim, funguje také pro defektní matice. To je zde ilustrováno pro matici 4×4 příkladem, který není diagonalizovatelný, a matice Šablona:Mvar nejsou projekční.

Uvažujme

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& -\frac{1}{8}\\ 0& 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right),$

s vlastními hodnotami Šablona:Math a Šablona:Math, každá o násobnosti dvě.

Uvažujme exponenciálu každé vlastní hodnoty znásobenou Šablona:Mvar, Šablona:Math. Znásobíme každou exponenciálu vlastní hodnoty odpovídajícím neurčitým koeficientem matice Šablona:Math. Pokud mají vlastní hodnoty algebraickou násobnost větší než 1, pak proces opakujeme, ale při každém opakování budeme násobit zvláštním členem Šablona:Mvar pro zajištění lineární nezávislosti.

(Pokud by jedna vlastní hodnota měla násobnost tři, dostali bych tři členy: $B_{i_1}{e}^{{\lambda }_{i}t},B_{i_2}t{e}^{{\lambda }_{i}t},B_{i_3}{t}^2{e}^{{\lambda }_{i}t}$. Naproti tomu, když jsou všechny vlastní hodnoty různé, matice Šablona:Mvar jsou právě Frobeniovy kovarianty, a jejich řešení, které je uvedeno níže, je právě inverzí Vandermondovy matice těchto čtyř vlastních hodnot.)

Součet všech takových členů (zde máme čtyři) je:

$\begin{array}{cc}{e}^{At}& =B_{1_1}{e}^{{\lambda }_{1}t}+B_{1_2}t{e}^{{\lambda }_{1}t}+B_{2_1}{e}^{{\lambda }_{2}t}+B_{2_2}t{e}^{{\lambda }_{2}t},\\ e^{At}& =B_{1_1}{e}^{\frac{3}{4}t}+B_{1_2}t{e}^{\frac{3}{4}t}+B_{2_1}{e}^{1t}+B_{2_2}t{e}^{1t}.\end{array}$

Pro řešení veškerých neznámých matic Šablona:Mvar pomocí prvních tří mocnin matice Šablona:Mvar a identity, potřebujeme čtyři rovnice; z výše uvedeného dostáváme jednu pro Šablona:Mvar = 0. Budeme ji derivovat podle Šablona:Mvar:

$A{e}^{At}=\frac{3}{4}{B}_{1_1}{e}^{\frac{3}{4}t}+(\frac{3}{4}t+1)B_{1_2}{e}^{\frac{3}{4}t}+1B_{2_1}{e}^{1t}+(1t+1)B_{2_2}{e}^{1t},$

a znovu:

$\begin{array}{cc}{A}^2{e}^{At}& ={\left(\frac{3}{4}\right)}^2{B}_{1_1}{e}^{\frac{3}{4}t}+({\left(\frac{3}{4}\right)}^{2}t+(\frac{3}{4}+1\cdot \frac{3}{4}))B_{1_2}{e}^{\frac{3}{4}t}+B_{2_1}{e}^{1t}+(1^{2}t+(1+1\cdot 1))B_{2_2}{e}^{1t}\\ & ={\left(\frac{3}{4}\right)}^2{B}_{1_1}{e}^{\frac{3}{4}t}+({\left(\frac{3}{4}\right)}^{2}t+\frac{3}{2})B_{1_2}{e}^{\frac{3}{4}t}+B_{2_1}{e}^t+(t+2)B_{2_2}{e}^t,\end{array}$

a ještě jednou:

$\begin{array}{cc}{A}^3{e}^{At}& ={\left(\frac{3}{4}\right)}^3{B}_{1_1}{e}^{\frac{3}{4}t}+({\left(\frac{3}{4}\right)}^{3}t+({\left(\frac{3}{4}\right)}^2+\left(\frac{3}{2}\right)\cdot \frac{3}{4}))B_{1_2}{e}^{\frac{3}{4}t}+B_{2_1}{e}^{1t}+(1^{3}t+(1+2)\cdot 1)B_{2_2}{e}^{1t}\\ & ={\left(\frac{3}{4}\right)}^3{B}_{1_1}{e}^{\frac{3}{4}t}+({\left(\frac{3}{4}\right)}^{3}t+\frac{27}{16})B_{1_2}{e}^{\frac{3}{4}t}+B_{2_1}{e}^t+(t+3\cdot 1)B_{2_2}{e}^t.\end{array}$

(V obecném případě potřebujeme Šablona:Mvar−1 derivací.)

Pokud v těchto čtyřech rovnicích položíme Šablona:Mvar = 0, je možné spočítat čtyři matice koeficientů Šablona:Mvar

$\begin{array}{cc}I& =B_{1_1}+B_{2_1}\\ A& =\frac{3}{4}{B}_{1_1}+B_{1_2}+B_{2_1}+B_{2_2}\\ A^2& ={\left(\frac{3}{4}\right)}^2{B}_{1_1}+\frac{3}{2}{B}_{1_2}+B_{2_1}+2B_{2_2}\\ A^3& ={\left(\frac{3}{4}\right)}^3{B}_{1_1}+\frac{27}{16}{B}_{1_2}+B_{2_1}+3B_{2_2},\end{array}$

což dává

$\begin{array}{cc}{B}_{1_1}& =128A^3-366A^2+288A-80I\\ B_{1_2}& =16A^3-44A^2+40A-12I\\ B_{2_1}& =-128A^3+366A^2-288A+80I\\ B_{2_2}& =16A^3-40A^2+33A-9I.\end{array}$

Dosazením hodnoty Šablona:Mvar dostáváme koeficienty matice

$\begin{array}{cc}{B}_{1_1}& =\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 48& -16\\ 0& 0& -8& 2\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\\ B_{1_2}& =\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 4& -2\\ 0& 0& -1& \frac{1}{2}\\ 0& 0& \frac{1}{4}& -\frac{1}{8}\\ 0& 0& \frac{1}{2}& -\frac{1}{4}\end{array}\right)\\ B_{2_1}& =\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -48& 16\\ 0& 1& 8& -2\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\\ B_{2_2}& =\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 8& -2\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$

takže výsledná odpověď je

$e^{tA}=\left(\begin{array}{cccc}{e}^t& t{e}^t& (8t-48)e^t+(4t+48)e^{\frac{3}{4}t}& (16-2t)e^t+(-2t-16)e^{\frac{3}{4}t}\\ 0& e^t& 8e^t+(-t-8)e^{\frac{3}{4}t}& -2e^t+\frac{t+4}{2}{e}^{\frac{3}{4}t}\\ 0& 0& \frac{t+4}{4}{e}^{\frac{3}{4}t}& -\frac{t}{8}{e}^{\frac{3}{4}t}\\ 0& 0& \frac{t}{2}{e}^{\frac{3}{4}t}& -\frac{t-4}{4}{e}^{\frac{3}{4}t}.\end{array}\right)$

Tento postup je mnohem kratší než Putzerův algoritmus, který se v takovém případě někdy používá.

Ilustrace

Za předpokladu, že chceme vypočítat exponenciální funkci matice

$B=\left(\begin{array}{ccc}21& 17& 6\\ -5& -1& -6\\ 4& 4& 16\end{array}\right).$

její Jordanova normální forma je

$J=P^{-1}BP=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 0& 16& 1\\ 0& 0& 16\end{array}\right),$

kde matice P je

$P=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{4}& 2& \frac{5}{4}\\ \frac{1}{4}& -2& -\frac{1}{4}\\ 0& 4& 0\end{array}\right).$

Nyní nejdříve spočítáme exp(J). Dostáváme

$J=J_1(4)\oplus J_2(16)$

Exponenciální funkce matice 1×1 je exponenciálou jejího jediného prvku, takže Šablona:Math. Exponenciální funkci J₂(16) lze vypočítat podle vzorce Šablona:Math uvedeného výše; dostáváme

$\begin{array}{cc}& \exp \left(\left(\begin{array}{cc}16& 1\\ 0& 16\end{array}\right)\right)=e^{16}\exp \left(\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\right)=\\ =& e^{16}(\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)+\frac{1}{2!}\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)+\cdots )=\left(\begin{array}{cc}{e}^{16}& e^{16}\\ 0& e^{16}\end{array}\right).\end{array}$

Proto, exponenciální funkce původního matice Šablona:Mvar je

$\begin{array}{cc}\exp (B)& =P\exp (J)P^{-1}=P\left(\begin{array}{ccc}{e}^4& 0& 0\\ 0& e^{16}& e^{16}\\ 0& 0& e^{16}\end{array}\right)P^{-1}\\ & =\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}13e^{16}-e^4& 13e^{16}-5e^4& 2e^{16}-2e^4\\ -9e^{16}+e^4& -9e^{16}+5e^4& -2e^{16}+2e^4\\ 16e^{16}& 16e^{16}& 4e^{16}\end{array}\right).\end{array}$

Aplikace

Lineární diferenciální rovnice

Maticová exponenciála má aplikace pro soustavy lineárních diferenciálních rovnic. (Viz také maticová diferenciální rovnice.) Připoměňme, že výše v tomto článku je uvedeno, že homogenní diferenciální rovnice tvaru

${𝐲}^{\prime }=A𝐲$

má řešení Šablona:Math.

Pokud uvažujeme vektor

$𝐲(t)=\left(\begin{array}{c}{y}_1(t)\\ ⋮\\ y_n(t)\end{array}\right),$

můžeme soustavu nehomogenních spřažených lineárních diferenciálních rovnic vyjádřit jako

${𝐲}^{\prime }(t)=A𝐲(t)+𝐛(t).$

Po provedení ansatz pro použití integračního faktoru Šablona:Math a roznásobení, dostaneme

$\begin{array}{cccc}& & e^{-At}{𝐲}^{\prime }-e^{-At}A𝐲& =e^{-At}𝐛\\ & \Rightarrow & e^{-At}{𝐲}^{\prime }-A{e}^{-At}𝐲& =e^{-At}𝐛\\ & \Rightarrow & \frac{d}{dt}\left(e^{-At}𝐲\right)& =e^{-At}𝐛.\end{array}$

Druhý krok je možný díky faktu, že, pokud Šablona:Math, pak Šablona:Math. Proto výpočet Šablona:Math vede k řešení soustavy, jednoduše integrováním třetího kroku podle Šablona:Mvar.

Toto řešení lze získat integrováním a znásobením $e^{\mathbf{\text{A}}t}$ pro odstranění exponentu na levé straně. Všimněte si, že zatímco $e^{\mathbf{\text{A}}t}$ je matice, pak je-li dána, že je maticová exponenciála, můžeme říct, že $e^{\mathbf{\text{A}}t}{e}^{-\mathbf{\text{A}}t}=I$. Jinými slovy $\exp \mathbf{\text{A}}t=\exp {(-\mathbf{\text{A}}t)}^{-1}$.

Příklad (homogenní)

Uvažujme systém

$\begin{array}{ccccc}{x}^{\prime }& =& 2x& -y& +z\\ y^{\prime }& =& & 3y& -1z\\ z^{\prime }& =& 2x& +y& +3z\end{array}.$

Příslušná defektní matice je

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 0& 3& -1\\ 2& 1& 3\end{array}\right).$

Maticová exponenciála je

$e^{tA}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}{e}^{2t}(1+e^{2t}-2t)& -2t{e}^{2t}& e^{2t}(-1+e^{2t})\\ -e^{2t}(-1+e^{2t}-2t)& 2(t+1)e^{2t}& -e^{2t}(-1+e^{2t})\\ e^{2t}(-1+e^{2t}+2t)& 2t{e}^{2t}& e^{2t}(1+e^{2t})\end{array}\right),$

takže obecné řešení homogenní soustavy je

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\frac{x(0)}{2}\left(\begin{array}{c}{e}^{2t}(1+e^{2t}-2t)\\ -e^{2t}(-1+e^{2t}-2t)\\ e^{2t}(-1+e^{2t}+2t)\end{array}\right)+\frac{y(0)}{2}\left(\begin{array}{c}-2t{e}^{2t}\\ 2(t+1)e^{2t}\\ 2t{e}^{2t}\end{array}\right)+\frac{z(0)}{2}\left(\begin{array}{c}{e}^{2t}(-1+e^{2t})\\ -e^{2t}(-1+e^{2t})\\ e^{2t}(1+e^{2t})\end{array}\right),$

amounting to

$\begin{array}{cc}2x& =x(0)e^{2t}(1+e^{2t}-2t)+y(0)(-2t{e}^{2t})+z(0)e^{2t}(-1+e^{2t})\\ 2y& =x(0)(-e^{2t})(-1+e^{2t}-2t)+y(0)2(t+1)e^{2t}+z(0)(-e^{2t})(-1+e^{2t})\\ 2z& =x(0)e^{2t}(-1+e^{2t}+2t)+y(0)2t{e}^{2t}+z(0)e^{2t}(1+e^{2t}).\end{array}$

Příklad (nehomogenní)

Uvažujme nyní nehomogenní systém

$\begin{array}{ccccccccc}{x}^{\prime }& =& 2x& -& y& +& z& +& e^{2t}\\ y^{\prime }& =& & & 3y& -& z& \\ z^{\prime }& =& 2x& +& y& +& 3z& +& e^{2t}\end{array}.$

opět dostáváme

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 0& 3& -1\\ 2& 1& 3\end{array}\right),$

a

$𝐛=e^{2t}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right).$

Z předchozího už máme obecné řešení homogenní rovnice. Protože součet homogenního a partikulárního řešení je obecné řešení nehomogenního problému, stačí nám pouze najít partikulární řešení.

Jak je uvedeno výše, máme

$\begin{array}{cc}{𝐲}_p& =e^{tA}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{(-u)A}\left(\begin{array}{c}{e}^{2u}\\ 0\\ e^{2u}\end{array}\right)du+e^{tA}𝐜\\ & =e^{tA}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\left(\begin{array}{ccc}2e^u-2u{e}^{2u}& -2u{e}^{2u}& 0\\ -2e^u+2(u+1)e^{2u}& 2(u+1)e^{2u}& 0\\ 2u{e}^{2u}& 2u{e}^{2u}& 2e^u\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{e}^{2u}\\ 0\\ e^{2u}\end{array}\right)du+e^{tA}𝐜\\ & =e^{tA}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\left(\begin{array}{c}{e}^{2u}(2e^u-2u{e}^{2u})\\ e^{2u}(-2e^u+2(1+u)e^{2u})\\ 2e^{3u}+2u{e}^{4u}\end{array}\right)du+e^{tA}𝐜\\ & =e^{tA}\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{24}{e}^{3t}(3e^t(4t-1)-16)\\ \frac{1}{24}{e}^{3t}(3e^t(4t+4)-16)\\ \frac{1}{24}{e}^{3t}(3e^t(4t-1)-16)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}2e^t-2t{e}^{2t}& -2t{e}^{2t}& 0\\ -2e^t+2(t+1)e^{2t}& 2(t+1)e^{2t}& 0\\ 2t{e}^{2t}& 2t{e}^{2t}& 2e^t\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right),\end{array}$

z čehož by bylo možné získat další zjednodušení nezbytně partikulárního řešení určeného pomocí variace parametrů. Note c = y_p(0). Formálnější přístup je v následujícím zobecnění.

Zobecnění nehomogenního případu: variace parametrů

Pro nehomogenní případ můžeme použít metodu integračních faktorů (metoda podobná variaci konstant). Hledáme partikulární řešení tvaru Šablona:Math,

$\begin{array}{cc}{{𝐲}_p}^{\prime }(t)& =\left(e^{tA}\right)𝐳(t)+e^{tA}{𝐳}^{\prime }(t)\\ & =A{e}^{tA}𝐳(t)+e^{tA}{𝐳}^{\prime }(t)\\ & =A{𝐲}_p(t)+e^{tA}{𝐳}^{\prime }(t).\end{array}$

Je-li Šablona:Math řešení,

$\begin{array}{cc}{e}^{tA}{𝐳}^{\prime }(t)& =𝐛(t)\\ {𝐳}^{\prime }(t)& ={\left(e^{tA}\right)}^{-1}𝐛(t)\\ 𝐳(t)& =\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{-uA}𝐛(u)du+𝐜.\end{array}$

pak

$\begin{array}{cc}{𝐲}_p(t)& =e^{tA}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{-uA}𝐛(u)du+e^{tA}𝐜\\ & =\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{(t-u)A}𝐛(u)du+e^{tA}𝐜,\end{array}$

kde Šablona:Math je určeno počáteční podmínkou problému.

Přesněji, uvažujme rovnice

$Y^{\prime }-AY=F(t)$

s počáteční podmínkou Šablona:Math, kde

• Šablona:Mvar je Šablona:Mvar podle Šablona:Mvar komplexní matice,
• Šablona:Mvar je spojitá funkce z nějakého otevřeného intervalu Šablona:Mvar to ℂⁿ,
• $t_0$ je bod intervalu Šablona:Mvar, a
• $Y_0$ je vektor typu Šablona:Math.

Levé násobení výše uvedený zobrazována rovnost podle Šablona:Math dává

$Y(t)=e^{(t-t_0)A}{Y}_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{e}^{(t-x)A}F(x)dx.$

Tvrdíme, že řešení rovnice

$P(d/dt)y=f(t)$

s počáteční podmínkou $y^{(k)}(t_0)=y_k$ pro Šablona:Math je

$y(t)=\sum _{k=0}^{n-1}{y}_k{s}_k(t-t_0)+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{s}_{n-1}(t-x)f(x)dx,$

s následujícím značením:

• $P\in ℂ[X]$ je monický polynom stupně Šablona:Math,
• Šablona:Mvar je spojitá komplexní funkce definovaná na nějakém otevřeném intervalu Šablona:Mvar,
• $t_0$ je bod intervalu Šablona:Mvar,
• $y_k$ je komplexní číslo, a

Šablona:Math je koeficient u $X^k$ v polynomu značeném $S_t\in ℂ[X]$ v části Vyhodnocování Laurentovou řadou výše.

Abychom dokázali toto tvrzení, transformujeme naši skalární rovnici řádu Šablona:Mvar na vektorovou rovnici řádu jedna obvyklou redukcí na soustavu prvního řádu. Naše vektorová rovnice má tvar

$\frac{dY}{dt}-AY=F(t),Y(t_0)=Y_0,$

kde Šablona:Mvar je transpozice doprovodné??? matice polynomu Šablona:Mvar. Tuto rovnici řešíme postupem ukázaným výše, výpočtem maticové exponenciály podle pozorování učiněného v části Vyhodnocování použitím Sylvesterova vzorce výše.

Pro Šablona:Mvar = 2 dostaneme následující tvrzení: Řešení

$y^{″}-(\alpha +\beta )y^{\prime }+\alpha \beta y=f(t),y(t_0)=y_0,y^{\prime }(t_0)=y_1$

je

$y(t)=y_0{s}_0(t-t_0)+y_1{s}_1(t-t_0)+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{s}_1(t-x)f(x)dx,$

kde funkce Šablona:Math a Šablona:Math jsou jako v části Vyhodnocování Laurentovou řadou výše.

Umocňování matice maticí

Umocňování matice maticí se definuje jako

$X^Y=e^{\log (X)\cdot Y}$

$Y^{}X=e^{Y\cdot \log (X)}$

pro libovolnou normální a nesingulární matici Šablona:Math Šablona:Mvar a libovolnou komplexní matici Šablona:Math Šablona:Mvar.

Při umocňování matice maticí rozlišujeme umocňování zleva Šablona:Mvar a zprava Šablona:Mvar, protože operátor násobení pro matice není komutativní. Navíc

• Pokud Šablona:Mvar je normální a nesingulární, pak Šablona:Mvar a Šablona:Mvar mají stejnou množinu vlastních hodnot.
• Pokud Šablona:Mvar je normální a nesingulární, Šablona:Mvar je normální a Šablona:Math, pak Šablona:Math.
• Pokud Šablona:Mvar je normální a nesingulární, a matice Šablona:Mvar, Šablona:Mvar, Šablona:Mvar vzájemně komutují, pak Šablona:Math a Šablona:Math.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie.
• Šablona:Citace periodika.
• Šablona:Citace periodika
• Šablona:Citace periodika
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace periodika

Související články

• Maticová funkce
• Maticový logaritmus
• C₀-pologrupa
• Exponenciální funkce
• Exponenciální zobrazení (Lieova teorie)
• Magnusův rozvoj
• Derivace exponenciálního zobrazení
• Vektorový tok
• Goldenova–Thompsonova nerovnost
• Fáze-typ rozdělení
• Lieův součin vzorec
• Bakerův–Campbellův–Hausdorffův vzorec
• Frobeniův kovariant
• Sylvesterův vzorec
• Trigonometrické funkce matice

Externí odkazy

• Šablona:Citace elektronické monografie