Mocninná řada

Mocninná řada (jedné proměnné) v matematice je nekonečná řada tvaru

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{(x-c)}^n=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c{)}^2+a_3(x-c{)}^3+\cdots$

kde $a_n$ je koeficient $n$-tého členu, $c$ je konstanta a $x$ se mění v blízkosti $c$ (z tohoto důvodu můžeme říkat, že řady mají střed v bodě $c$). Tyto řady obvykle vznikají jako Taylorovy řady nějaké známé funkce.

V mnoha situacích je $c$ rovno nule, například u Maclaurinovy řady. Mocninná řada pak má jednodušší tvar

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots .$

Tyto mocninné řady se nejdříve objevily v analýze, ale také se objevují v kombinatorice (pod jménem generující funkce) a v elektrotechnice (pod jménem Z-transformace). Obvyklý desítkový zápis reálných čísel může být také považována za příklad mocninné řady s celočíselnými koeficienty a s pevnou hodnotou argumentu $x=\frac{1}{10}$. Pojem p-adických čísel v teorii čísel také úzce souvisí s mocninnými řadami.

Příklady

Exponenciální funkce (modře) a suma prvních $n+1$ členů její Maclaurinovy mocninné řady (červeně).

Každý polynom lze vyjádřit jako mocninnou řadu s libovolným středem $c$, která má většinu koeficientů rovných nule. Například polynom $f(x)=x^2+2x+3$ může být zapsán jako mocninná řada o středu $c=0$ jako

$f(x)=3+2x+1x^2+0x^3+0x^4+\cdots$

nebo o středu $c=1$ jako

$f(x)=6+4(x-1)+1(x-1{)}^2+$

$0(x-1{)}^3+0(x-1{)}^4+\cdots$

nebo o středu $c$. Mocninnou řadu můžeme považovat za polynom nekonečného stupně, i když mocninné řady obecně polynomy nejsou.

Vzorec pro geometrickou řadu

$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=1+x+x^2+x^3+\cdots ,$

který platí pro $|x|<1$, je jedním z nejdůležitějších příkladů mocninné řady, stejně jako řada pro exponenciální funkci

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots ,$

a vzorec pro funkci sinus

$\sin (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots ,$

platí pro všechna reálná x. Tyto mocninné řady jsou příkladem Taylorovy řady.

Záporné mocniny nejsou v mocninné řadě povoleny, například $1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots$ se nepovažuje za mocninnou řadu (i když to je Laurentova řada). Podobně ani neceločíselné mocniny jako $x^{1/2}$ nejsou povoleny (jsou povoleny u Puiseuxových řad). Koeficienty $a_n$ nesmí záviset na $x$, takže například:

$\sin (x)x+\sin (2x)x^2+\sin (3x)x^3+\cdots$ mocninná řada není.

Poloměr konvergence

Mocninná řada konverguje pro některé hodnoty proměnné $x$ a může divergovat pro ostatní hodnoty. Všechny mocninné řady $f(x)$ s mocninami $(x-c)$ konvergují v bodě $x=c$. (Správné hodnoty $f(c)=a_0$ vyžadují interpretaci výrazu $0^0$ jako rovnou $1$.) Pokud $c$ není jediný bod, kde řada konverguje, pak vždy existuje číslo $r$, $0<r\le \mathrm{\infty }$ takové, že řada konverguje pro každé $|x-c|<r$ a diverguje pro každé $|x-c|>r$. Číslo $r$ se nazývá poloměr konvergence mocninné řady; obecně jej lze zapsat jako

$r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{\left|a_n\right|}^{-\frac{1}{n}}$

nebo, ekvivalentně,

$r^{-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{\left|a_n\right|}^{\frac{1}{n}}$

(toto je Cauchyova–Hadamardova věta). Rychlý způsob, jak tento výraz spočítat je

$r^{-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$

pokud tato limita existuje.

Řady konverguje absolutně pro $|x-c|<r$ a konverguje stejnoměrně na každé kompaktní podmnožině $\{x:|x-c|<r\}$. To jest, řada je absolutně a kompaktně konvergentní uvnitř disku konvergence.

Pro $|x-c|=r$, nelze obecně říct, zda řada konverguje nebo diverguje. Ale v případě reálných proměnných, Abelova věta říká, že suma řady je spojitá v bodě $x$, pokud řada konverguje v bodě $x$. V případě komplexní proměnné lze pouze prohlásit spojitost podél úsečky začínající v bodě $c$ a končící v bodě $x$.

Operace na mocninných řadách

Sčítání a odčítání

Když jsou dvě funkce $f$ a $g$ rozloženy na mocninnou řadu se stejným středem $c$, mocninnou řadu součtu nebo rozdílu funkcí lze získat sčítáním nebo odčítáním po členech. Neboli pokud

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^n$

$g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-c{)}^n$

pak

$f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_n\pm b_n)(x-c{)}^n.$

Součin a podíl

Pomocí definice uvedené výše pro mocninnou řadu součinu a podílu funkcí platí:

$f(x)g(x)=(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^n)(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-c{)}^n)$

$=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{b}_j(x-c{)}^{i+j}$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i}\right)(x-c{)}^n.$

Posloupnost $m_n=\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i}$ se nazývá konvoluce posloupností $a_n$ a $b_n$.

Pro dělení platí:

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^n}{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-c{)}^n}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{d}_n(x-c{)}^n$

$f(x)=(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n(x-c{)}^n)(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{d}_n(x-c{)}^n)$

a pak lze použít postup uvedený výše s porovnáváním koeficientů.

Derivace a integrace

Pokud je funkce zadaná jako mocninná řada, je derivovatelná uvnitř oboru konvergence. Řadu lze snadno derivovat a integrovat člen po členu:

$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}n{(x-c)}^{n-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n+1}(n+1){(x-c)}^n$

$\int f(x)dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n{(x-c)}^{n+1}}{n+1}+k=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_{n-1}{(x-c)}^n}{n}+k.$

Obě tyto řady mají stejný poloměr konvergence jako původní.

Analytické funkce

Funkce $f$ definované na nějaké otevřené podmnožině $U$ množiny $ℝ$ nebo $ℂ$ se nazývá analytická, pokud je lokálně zadaná jako konvergentní mocninná řada. To znamená, že $\mathrm{\forall }a\in U$ má otevřené okolí $V\subset U$, takové, že existuje mocninná řada o středu $a$, která konverguje k $f(x)$ pro $\mathrm{\forall }x\in V$.

Každá mocninná řada s kladným poloměrem konvergence je analytická na uvnitř své oblasti konvergence. Všechny holomorfní funkce jsou komplexně analytické. Součty a násobky analytických funkce jsou analytické, stejně jako podíly, pokud je dělitel nenulový.

Pokud funkce je analytická, pak existují její derivace všech řádů, ale opak v reálném případě obecně neplatí. Koeficienty analytické funkce $a_n$ lze vyjádřit jako

$a_n=\frac{f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}$

kde $f^{(n)}(c)$ označuje $n$-tou derivaci $f$ v bodě $c$ a $f^{(0)}(c)=f(c)$. To znamená, že každá analytická funkce je lokálně reprezentovaná svoji Taylorovou řadou.

Obecná forma analytické funkce je zcela určena svým lokálním chováním v následujícím smyslu: pokud $f$ a $g$ jsou dvě analytické funkce definované na stejné souvislé otevřené množině $U$, a pokud $\mathrm{\forall }n\ge 0\mathrm{\exists }c\in U,f^{\left(n\right)}\left(c\right)=g^{\left(n\right)}\left(c\right)$, pak platí $f\left(x\right)=g\left(x\right)\mathrm{\forall }x\in U$.

Pokud je zadaná mocninná řada s poloměrem konvergence $r$, můžeme uvažovat analytické pokračování řady, tj. analytické funkce $f$, které jsou definované na větších množinách než $\{x:|x-c|<r\}$ a souhlasí se zadanou mocninnou řadou na této množiny. Číslo $r$ je maximální v následujícím smyslu: vždy existuje komplexní číslo $x$ s $|x-c|=r$ takový, že žádné analytické pokračování řady nemůže být v bodě $x$.

Rozvoj mocninná řada inverzní funkce analytické funkce může být určena pomocí Lagrangeovy inverzní formule.

Formální mocninná řada

V abstraktní algebře, lze zachytit podstatu mocninných řad bez omezení na obor integrity reálných nebo komplexních čísel a bez potřeby uvažovat konvergenci. To vede k pojmu formální mocninné řady, který je velmi užitečný v algebraické kombinatorice.

Mocninné řady více proměnných

Rozšíření teorie je nutné pro diferenciální a integrální počet více proměnných. Mocninná řada je zde definované jako nekonečná řada tvaru

$f(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{j_1,\dots ,j_n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{j_1,\dots ,j_n}\prod _{k=1}^n{(x_k-c_k)}^{j_k},$

kde $j=(j_1,\dots ,j_n)$ je vektor přirozených čísel, koeficienty $a_{(j_1,\dots ,j_n)}$ jsou obvykle reálná nebo komplexní čísla, a střed $c=(c_1,\dots ,c_n)$ a argument $x=(x_1,\dots ,x_n)$ jsou obvykle reálné nebo komplexní vektory. V obvyklejší multi-indexové notaci lze napsat

$f(x)=\sum _{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}{a}_{\alpha }{(x-c)}^{\alpha }.$

Teorie takových řad je složitější než teorie řad jedné proměnné, se složitějšími oblastmi konvergence. Například mocninná řada $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_1^n{x}_2^n$ je absolutně konvergentní na $\{(x_1,x_2):|x_1{x}_2|<1\}$ mezi oběma hyperbolami. (Toto je příklad log-konvexní množiny v tom smyslu, že množina bodů $(\log |x_1|,\log |x_2|)$, kde $(x_1,x_2)$ leží v uvedené oblasti, je konvexní množina. Obecněji můžeme ukázat, že pokud $c=0$, uvnitř oblasti absolutní konvergence je vždy log-konvexní množina v tom to smyslu.) Na druhou stranu, uvnitř této oblasti konvergence můžeme derivovat a integrovat pod symbolem řady stejně jako v případě normální mocninné řady.

Řád mocninné řady

Nechť α je multi-index mocninné řady $f(x_1,\dots ,x_n)$. Řád mocninné řady $f$ se definuje jako nejmenší hodnota $|\alpha |$ taková, že $a_{\alpha }\ne 0$, nebo $0$ pokud $f\equiv 0$. Speciálně pro mocninnou řadu $f(x)$ jedné proměnné $x$, řád $f$ je nejmenší mocnina $x$ s nenulovým koeficientem. Tuto definici lze jednoduše rozšířit na Laurentovy řady.

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Šablona:MathWorld
• Šablona:MathWorld
• Complex Power Series Module by John H. Mathews
• Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project
• Power series Encyclopedia of Mathematics