Stejnoměrná konvergence

Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí je druh konvergence. Posloupnost $\{f_n(x){\}}_{n=1}^{n=\mathrm{\infty }}$ funkcí konverguje stejnoměrně k funkci $f$ (nazývané též limitní funkce), pokud rychlost konvergence nezávisí na hodnotě x. Stejnoměrná konvergence implikuje konvergenci bodovou, Vztah mezi těmito konvergencemi popisuje Diniho věta.

Definice

V metrických prostorech

Stejnoměrnou konvergenci v metrickém prostoru definujeme takto

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}:\mathrm{\forall }x\in M,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>n_0:|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$

či ekvivalentně

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in M}|f_n(x)-f(x)|=0$. Kde M je množina z daného prostoru.

Tedy posloupnost konverguje, pokud ke každému kladnému číslu $\epsilon$ lze najít index, od kterého je každý prvek posloupnosti v $\epsilon$-ovém okolí limitní funkce. Či ekvivaletně jestliže limita supréma vzdálenosti jednotlivých prvků posloupnosti a limitní funkce je nula.

V uniformních prostorech

Šablona:PodrobněK zavedení pojmu stejnoměrné konvergence funkcí z $X$ do $Y$ nestačí, aby $Y$ byl pouze topologický prostor, topologická struktura, k tomu neposkytuje dostatek informací. Na druhou stranu není nutné mít tak detailní strukturu, jakou poskytuje metrický prostor. Proto vznikl pojem uniformní prostor, který obsahuje právě informaci k tomu potřebnou.

Pro neprázdnou množinu $X$, uniformní prostor $(Y,U)$ a množinu funkcí $f_n$ z $X$ do $Y$ se říká, že stejnoměrně konverguje k funkci $f:X\to Y$, pokud ke každému $V\in U$ existuje $N\in \mathbb{N}$, takové že pro všechna $n\ge N$ a $x\in X$ platí $(f_n(x),f(x))\in V$.

Odkazy

Související články

• Abelovo kritérium stejnoměrné konvergence
• Řada (matematika)

Externí odkazy

• Šablona:SpringerEOM