Posloupnost funkcí

V matematice pojem posloupnost funkcí označuje posloupnost, jejímž členy jsou funkce. Nejtypičtější jsou posloupnosti funkcí reálné proměnné. Studium posloupností funkcí je součástí funkcionální analýzy.

Definice

Posloupností funkcí nazveme libovolné zobrazení z množiny přirozených čísel do množiny funkcí. Zapisujeme $(a_n):\mathbb{N}\to \mathrm{X}$, kde $\mathrm{X}$ je množina funkcí.

Nejčastěji se uvažuje o posloupnostech nad metrickými prostory funkcí jako je Lp prostor.

Konvergence posloupnosti funkcí

Na posloupnostech funkcí se rozlišuje několik druhů konvergence – například posloupnost lineárních funkcí $f_n(x)=x/n$ konverguje k nulové funkci $f(x)=0$ bodově, ale ne stejnoměrně.

• Posloupnost funkcí $\{f_n\}$ konverguje bodově k funkci $f:ℝ\to ℝ$, pokud konverguje v každém bodě, tj. pro každé $\epsilon >0$ a každé $x\in R$ existuje $n_0\in \mathbb{N}$ takové, že $f_{n_0}$ (a všechny následující) se od $f$ v bodě $x$ liší o méně než $\epsilon$.
• Posloupnost konverguje stejnoměrně, pokud platí tatáž podmínka s tím rozdílem, že uvedené $n_0$ nezávisí na $x$.
• Konverguje skoro všude, pokud bodově konverguje v každém bodě kromě množiny tak malé, že její míra (např. Lebesgueova míra) je nulová.
• Konvergence řady funkcí: Tak jako zápis $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ je zkratka pro limitu posloupnosti částečných součtů, tj. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{j=1}^n{a}_j$ tak i $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ je zkratka pro $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{j=1}^n{f}_j(x)$. Tato posloupnost částečných (funkčních) součtů může konvergovat stejnoměrně, bodově, skoro všude apod.
• Konečně pro každou topologickou strukturu na množině funkcí lze hovořit o konvergenci podle této topologie, přičemž se nijak nevyužívá, že objekty konvergence jsou funkce. Jinými slovy: na množině funkcí, stejně jako na každé jiné množině, libovolná topologická struktura definuje konvergenci.

Tyto definice lze zobecnit na konvergenci funkcí z jakékoli množiny  do vhodné množiny :

• Pro stejnoměrnou konvergenci je potřeba, aby  byl metrický prostor nebo alespoň uniformní prostor.
• Pro bodovou konvergenci postačí topologický prostor.
• Pro konvergenci skoro všude musí navíc být dáno, jaké podmnožiny  jsou „malé“ (typicky tím, že X je prostor s mírou).
• Konvergence řady je studována především v Banachových prostorech, protože je tam k dispozici sčítání a metrika a všechny cauchyovské posloupnosti tam mají limitu.

V metrických prostorech

Definice bodové ani stejnoměrné konvergence reálných posloupností nijak nevyužívá toho, že definiční obory funkcí jsou právě reálná čísla. Proto je možné tyto pojmy zobecnit z funkcí z $ℝ\to ℝ$ na funkce $X\to ℝ$ pro jakoukoli neprázdnou množinu $X$, aniž bychom na $X$ vyžadovali nějakou dodatečnou strukturu, např. že to má být metrický prostor.

Skutečnost, že $f_n(x)$ a $f(x)$ jsou reálná čísla, není v podmínce $|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$ (ani žádné další části definice) využita nad rámec toho, že lze stanovit jejich vzdálenost. Proto místo reálných čísel můžeme použít jakoukoli množinu $Y$ s kteroukoli metrikou $d$. Díky tomu lze pro libovolnou neprázdnou množinu $X$ a libovolný metrický prostor $(Y,d)$ lze definovat, že posloupnost funkcí $\{f_n\}:X\to Y$ konverguje k funkci $f$.

• Bodově když $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\forall }x\in X\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n>n_0:d(f_n(x),f(x))<\epsilon$.

• Stejnoměrně když $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }x\in X\mathrm{\forall }n>n_0:d(f_n(x),f(x))<\epsilon$.

Tyto dvě definice se liší jen prohozením pořadí kvantifikátorů $\mathrm{\forall }x$ a $\mathrm{\exists }{n}_0$, stejně jako u definice na reálných číslech, která je speciálním případem této obecnější definice. Pořadí kvantifikátorů je zde velmi důležité. Stejnoměrná konvergence je mnohem silnější a implikuje bodovou. Vztah mezi těmito konvergencemi popisuje Diniho věta.

Příklad

Příklad posloupnosti funkcí, která konverguje bodově, ale ne stejnoměrně.

Mějme $f_n(x)={\sin }^{\mathrm{2n}}x$ a supremovou metriku $d(f,g)=\underset{x\in ℝ}{\sup }|f(x)-g(x)|$. Tato posloupnost konverguje bodově k funkci $g(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x=\pi n,n\in \mathbb{Z}\\ 0,& \text{jinak}\end{array}$, protože pro každé $\mathrm{\forall }\epsilon$ a $\mathrm{\forall }x$ se dá snadno najít index, od kterého bude podmínka splněna. Avšak nekonverguje stejnoměrně, protože bychom hledali takové $n_0$, že $\mathrm{\forall }n>n_0:\underset{x\in ℝ}{\sup }|f_n(x)-g(x)|<\epsilon$, ale v $\underset{x\in ℝ}{\sup }|f_n(x)-g(x)|=1$ pro jakékoliv n, protože v je $\pi /2$ bod nespojitosti g(x).

V topologických prostorech

Šablona:PodrobněTopologický prostor Y nemá definované nic obdobného metrice, pouze nese informaci o otevřených množinách na $Y$. Ne všechny topologické prostory jsou metrizovatelné (tj. lze na nich definovat metriku).

Bez konkrétní metriky na $Y$ nelze hovořit o stejnoměrné konvergenci, topologie. Říkáme, že posloupnost funkcí $f_n$ z množiny $X$ do topologického prostoru $Y$ k funkci $f\to Y$ konverguje bodově, pokud pro každé $x\in X$ posloupnost $f_n(x)$ bodů z $Y$ konverguje k $f(x)$.

Formálně zapsáno:

Necht’ $(X,T)$ je topologický prostor, $(u_i)\subset X$ je posloupnost bodů z $X$ a $u\in X$. Jestliže ke každému okolí $G$ bodu $x$ existuje index $n_0\in N$ takový, že $u_n\in G$ pro všechna $n{n}_0$, řekneme, že posloupnost $(u_i)$ konverguje k bodu $u\in X$ a píšeme $x_n\to x$ v $(X,T)$ nebo $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}_i=u$.

V uniformních prostorech

Šablona:Podrobně K zavedení pojmu stejnoměrné konvergence funkcí z $X$ do $Y$ nestačí, aby $Y$ byl pouze topologický prostor, topologická struktura, k tomu neposkytuje dostatek informací. Na druhou stranu není nutné mít tak detailní strukturu, jakou poskytuje metrický prostor. Proto vznikl pojem uniformní prostor, který obsahuje právě informaci k tomu potřebnou.

Pro neprázdnou množinu $X$, uniformní prostor $(Y,U)$ a množinu funkcí $f_n$ z $X$ do $Y$ se říká, že stejnoměrně konverguje k funkci $f:X\to Y$, pokud ke každému $V\in U$ existuje $N\in \mathbb{N}$, takové že pro všechna $n\ge N$ a $x\in X$ platí $(f_n(x),f(x))\in V$.