Prostor s mírou

Prostor s mírou je neprázdná množina, ve které chceme měřit délky, obsahy, objemy, případně kvantity, s mírou, jakožto funkcí, která jejím podmnožinám přiřazuje jejich „velikost“. Prostory s mírou jsou základním předmětem zájmu teorie míry, což je odvětví matematiky, které se zabývá zobecněním pojmu objemu.

Na teorii míry je vystavěna moderní teorie integrálu a využívá ji i jeden ze dvou hlavních přístupů k teorii pravděpodobnosti vycházející z pojmu pravděpodobnostní prostor, což je prostor s mírou, která výsledkům náhodného pokusu přiřazuje jejich pravděpodobnosti.

Požadavek na měřitelnost všech podmnožin libovolné množiny $X$ může vést k Banachově-Tarského paradoxu, proto se používá složitější definice, v níž není vyžadováno, aby všechny podmnožiny $X$ byly měřitelné. Podle této definice je prostor s mírou tvořen třemi složkami:

• množinou $X$, jejíž části chceme měřit,
• souborem všech měřitelných podmnožin množiny $X$,
• funkcí přiřazující každé měřitelné množině její „velikost“ – nějakou nezápornou hodnotu, která může být i nekonečná.

Definice

Prostor s mírou je uspořádaná trojice $(X,𝒜,\mu )$, kde

• $X$ je neprázdná množina,
• $𝒜$ je $\sigma$-algebra na množině $X$,
• $\mu$ je míra na $(X,𝒜)$.

Jednoduše lze říci, že prostor s mírou je měřitelný prostor s mírou na $(X,𝒜)$.

Příklad

Uvažujme množinu $X=\{0,1\}$. Na konečných množinách bývá $\sigma$-algebra obvykle celá potenční množina značená $𝒫(\cdot )$. Nechť

$𝒜=𝒫(X)$,

pak lze potenční množinu vypsat výčtem prvků:

$𝒫(X)=\{\mathrm{\varnothing },\{0\},\{1\},\{0,1\}\}$

a míru $\mu$ definujeme jako:

$\mu (\{0\})=\mu (\{1\})=\frac{1}{2}$,

takže $\mu (X)=1$ (díky aditivitě míry) a $\mu (\mathrm{\varnothing })=0$ (z definice míry).

Tím dostaneme prostor s mírou $(X,𝒫(X),\mu )$. Tento prostor je pravděpodobnostním prostorem, protože $\mu (X)=1$. Míra $\mu$ odpovídá alternativnímu (Bernoulliho) rozdělení s $p=\frac{1}{2},$ které se používá například jako model házení poctivou mincí.

Prostory s mírou

• Konečně měřitelné prostory jsou prostory vybavené konečnou mírou.
• Pravděpodobnostní prostory jsou konečně měřitelné prostory vybavené pravděpodobnostní mírou, tj. mírou, která množině $X$ přiřazuje míru $1$.
• $\sigma$-konečně měřitelné prostory jsou prostory, jejichž míra je $\sigma$-konečná.
• Úplně měřitelné prostory jsou prostory vybavené úplnou mírou.

Odkazy

Související články

• Měřitelný prostor
• Pravděpodobnostní prostor