Měřitelný prostor

Měřitelný prostor neboli borelovský prostor je v matematice základní objekt teorie míry. Sestává z libovolné neprázdné množiny a tzv. sigma-algebry na této množině. Měřitelný prostor poskytuje informace o tom, které množiny (podmnožiny neprázdné množiny) lze měřit. Měřitelný prostor určuje, které podmnožiny neprázdné množiny jsou měřitelné, ale na rozdíl od prostoru s mírou nedefinuje žádnou konkrétní míru.

Definice

Měřitelný prostor je uspořádaná dvojice $(X,𝒜)$, kde

• $X$ je neprázdná množina,
• $𝒜$ je $\sigma$-algebra na množině $X$.

Příklad

Uvažujme množinu $X=\{1,2,3\}$, pak jedna z možných $\sigma$-algeber je

${𝒜}_1=\{X,\mathrm{\varnothing }\}$ a $(X,{𝒜}_1)$ je měřitelný prostor,

další možnou $\sigma$-algebrou je potenční množina množiny $X$, tj.:

${𝒜}_2=𝒫(X)$ a $(X,{𝒜}_2)$ je jiný měřitelný prostor.

Měřitelné prostory

• Pokud $X$ je konečná nebo spočetná množina, pak potenční množina množiny $X$ je $\sigma$-algebrou, tj. $𝒜=𝒫(X)$. Měřitelný prostor je pak $(X,𝒫(X))$.
• Pokud $X$ je topologický prostor, pak $\sigma$-algebra může být borelovská množina $ℬ$, tj. $𝒜=ℬ(X)$. Měřitelný prostor je pak $(X,ℬ(X))$, obvyklý pro všechny topologické prostory včetně množiny reálných čísel $ℝ$.

Borelovské prostory

Termín borelovský prostor se používá pro různé typy měřitelných prostorů, může znamenat:

• jakýkoli měřitelný prostor, tj. být synonymem pro měřitelný prostor jak je definovaný výše,
• měřitelný prostor, který je borelovsky izomorfní s nějakou měřitelnou podmnožinou reálných čísel, která je borelovskou $\sigma$-algebrou.

Odkazy

Související články

• Prostor s mírou
• Pravděpodobnostní prostor