Sigma algebra

$\sigma$-algebra (sigma-algebra, též $\sigma$-těleso) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků a obsahuje sjednocení všech svých prvků. Prefix $\sigma$ v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.

Definice

Systém $𝒜$ podmnožin množiny $X$ nazveme $\sigma$-algebrou, jestliže obsahuje prázdnou množinu a je uzavřený na spočetné sjednocení a doplněk, tj.:

1. $\mathrm{\varnothing }\in 𝒜$
2. jestliže $(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})(A_n\in 𝒜)$, pak $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in 𝒜$
3. jestliže $A\in 𝒜$, pak $X\setminus A\in 𝒜$

Vlastnosti

• $\sigma$-algebra obsahuje sjednocení všech svých prvků, tj.: $X\in 𝒜$, což dostaneme dosazením prázdné množiny za $A$ v poslední části definice
• $\sigma$-algebra je uzavřená na spočetný průnik svých prvků, tj. pro $(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})(A_n\in 𝒜)$ platí $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in 𝒜$

Použití

Koncept $\sigma$-algebry je důležitý především v teorii míry a v teorii pravděpodobnosti. Míra je libovolná nezáporná funkce, která je $\sigma$-aditivní a má na prázdné množině hodnotu $0$. Pravděpodobnost je míra, která má na množině $X$ hodnotu $1$.

Měřitelná množina

V teorii míry se dvojice $(X,𝒜)$, kde $X$ je libovolná množina a $𝒜$ je $\sigma$-algebra na $X$ nazývá měřitelný prostor a množiny $𝒜\in 𝒜$ nazýváme měřitelné množiny.

Související články

• $\sigma$-okruh