Sigma okruh

$\sigma$-okruh (sigma-okruh) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků. Prefix $\sigma$ v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.

Definice

Systém množin $ℛ$ je $\sigma$-okruh, pokud splňuje následující vlastnosti:

1. $ℛ\ne \mathrm{\varnothing }$
2. jestliže $(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})(A_n\in ℛ)$, pak $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in ℛ$
3. jestliže $A,B\in ℛ$, pak $A\setminus B\in ℛ$

Někdy se jako $\sigma$-okruh označuje uspořádaná dvojice $(X,ℛ)$, kde $X$ je libovolná množina a $ℛ\subseteq 𝒫(X)$ je nějaký systém jejích podmnožin, který splňuje výše uvedené vlastnosti.

Vlastnosti

• každý $\sigma$-okruh obsahuje prázdnou množinu
• $\sigma$-okruh je uzavřený na spočetný průnik svých prvků, tj. pro $(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})(A_n\in ℛ)$ platí $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in ℛ$

Použití

Koncept $\sigma$-okruhu je důležitý především v teorii míry, kde se používá místo $\sigma$-algebry, pokud není potřeba, aby univerzální množina byla měřitelná.

Související články

• $\sigma$-algebra