σ-konečná míra

σ-konečná míra je v teorii míry označení takové míry, která je definována na σ-algebře $\mathrm{\Sigma }$ tvořené podmnožinami množiny $X$, přičemž platí, že $X$ lze vyjádřit jako spočetné sjednocení množin o konečné míře.

Formální definice

Nechť $(X,𝒜)$ je měřitelný prostor s mírou $\mu$. Pak se $\mu$ nazývá σ-konečná, pokud splňuje jednu z následujících čtyř ekvivalentních podmínek:

1. Množinu $X$ je možno pokrýt spočetnou množinou měřitelných množin o konečné míře. Tedy existují množiny $A_1,A_2,\dots \in 𝒜$, kde $\mu \left(A_n\right)<\mathrm{\infty }$ pro všechna $n\in \mathbb{N}$ a přitom $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n=X$
2. Množinu $X$ je možno pokrýt spočetnou množinou navzájem disjunktních množin o konečné míře. Tedy existují $B_1,B_2,\dots \in 𝒜$, kde $\mu \left(B_n\right)<\mathrm{\infty }$ a $n\in \mathbb{N}$ a $B_i\cap B_j=\varnothing$ pro $i\ne j$, které splňují $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{B}_n=X$.
3. Množinu $X$ je možno pokrýt monotónní posloupností měřitelných množin o konečné míře. Tedy existují množiny $C_1,C_2,\dots \in 𝒜$ s $C_1\subset C_2\subset \cdots$ splňující $\mu \left(C_n\right)<\mathrm{\infty }$ pro všechna $n\in \mathbb{N}$, přičemž platí $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{C}_n=X$.
4. Existuje kladná měřitelná funkce $f$, jejíž integrál je konečný, tedy: $f(x)>0$ pro všechna $x\in X$ a $\int f(x)\mu (\mathrm{d}x)<\mathrm{\infty }$

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie