Uniformní prostor

Uniformní prostor je matematická struktura umožňující definici stejnoměrné konvergence a stejnoměrné spojitosti nezávisle na konkrétní metrice. Rozšiřuje pojem topologický prostor a poskytuje dostatečnou strukturu pro analýzu vztahů mezi body prostoru.

Definice

Uniformní prostor $𝕌=(Y,U)$ je matematická struktura tvořená:

• nosnou množinou $Y$,
• uniformní strukturou („uniformitou“) $U\subseteq 𝒫(Y\times Y)$, což je systém podmnožin kartézského součinu $Y\times Y$, splňující tyto axiomy:
  • Reflexivita: ${\mathrm{\Delta }}_Y=\{(y,y)\mid y\in Y\}\in U$, tj. diagonála patří do uniformity.
  • Symetrie: Pro každé $V\in U$ platí $V^{-1}=\{(y,z)\mid (z,y)\in V\}\in U$.
  • Tranzitivita: Ke každé $V\in U$ existuje $W\in U$, takové že $W\circ W\subseteq V$, kde $W\circ W=\{(y,z)\mid \mathrm{\exists }u\in Y:(y,u)\in W\text{ a }(u,z)\in W\}$.
  • Filtrační vlastnost: Pokud $V,W\in U$, pak existuje $Z\in U$, takové že $Z\subseteq V\cap W$.

Vztah k dalším strukturám

Uniformní prostory zobecňují metrické prostory, ale nejsou tak konkrétní; umožňují studovat stejnoměrnou konvergenci a spojitost bez závislosti na metrice.

• Každý uniformní prostor $(Y,U)$ je zároveň topologický prostor, protože uniformita generuje topologii. Okolím bodu $y\in Y$ jsou množiny tvaru $\{z\in Y\mid (y,z)\in V\text{ pro nějaké }V\in U\}$.
• Každý metrický prostor $(Y,d)$ lze chápat jako uniformní prostor, kde uniformita obsahuje množiny tvaru $\{(y,z)\mid d(y,z)<\epsilon \}$, $\epsilon >0$, a všechny jejich nadmnožiny.

Stejnoměrná konvergence

Uniformní struktura umožňuje definovat stejnoměrnou konvergenci následovně: Pro neprázdnou množinu $X$, množinu funkcí $\{f_n\}$ z $X$ do $Y$ a funkci $f:X\to Y$ platí, že $\{f_n\}$ stejnoměrně konverguje k $f$, pokud ke každému $V\in U$ existuje $n_0\in \mathbb{N}$, takové že pro všechna $n\ge n_0$ a $x\in X$ platí $(f_n(x),f(x))\in V$.

Stejnoměrná spojitost

Stejnoměrná spojitost je vlastnost funkcí mezi uniformními prostory, která zajišťuje, že "blízké" body v prvním prostoru jsou zobrazeny na "blízké" body ve druhém prostoru stejným způsobem, bez závislosti na konkrétním bodě. Na rozdíl od běžné spojitosti, která je lokální vlastností (spojitost v jednom bodu) stejnoměrná spojitost se týká chování celé funkce.

Formálně, funkce $f:(X,U_X)\to (Y,U_Y)$ mezi uniformními prostory je stejnoměrně spojitá, pokud pro každé $V\in U_Y$ existuje $W\in U_X$ takové, že pro všechna $(x_1,x_2)\in W$ platí $(f(x_1),f(x_2))\in V$. Jinými slovy, blízkost dvojic bodů v prostoru $X$ podle uniformity $U_X$ zaručuje odpovídající blízkost jejich obrazů v prostoru $Y$.

Tato vlastnost v matematické analýze hraje klíčovou roli při studiu aproximací funkcí a zobecnění spojitosti.

Např. následující funkce jsou spojité, ale nikoli stejnoměrně:

• $x^2$ na celém $ℝ$,
• $1/x$ na intervalu $(0;1)$,
• Šablona:Malé na $(0;1)$,
• Šablona:Malé na $⟨-1;1⟩$.

To plyne z toho, že je-li funkce na intervalu stejnoměrně spojitá a má v každém bodě derivaci, tato derivace je omezená.

Například $f(x)=x^2$ na celém $ℝ$ není stejnoměrně spojitá, protože existuje $\epsilon$ (např. 1) takové, že pro sebemenší $\delta$ existuje tak velké $x_0$, že se některá čísla z $\delta$-okolí $x_0$ zobrazí mimo $\epsilon$-okolí $f(x_0)$.

Historie

Koncept uniformních prostorů byl zaveden v první polovině 20. století jako zobecnění metrických prostorů. Klíčovými osobnostmi byli například André Weil a skupina Nicolase Bourbakiho.

Uniformní prostory poskytly nástroj pro zkoumání konvergence a spojitosti bez nutnosti specifické metriky. Pozdější vývoj zahrnoval jejich aplikace v teorii kategorií a homotopické teorii, kde byly užitečné pro studium vlastností nezávislých na konkrétní metrice či topologii. Šablona:Portály