Definiční obor

Funkce $f$ zobrazuje množinu $X$ do množiny $Y$. Definiční obor značen červeně, obor hodnot žlutě.

Definiční obor zobrazení $T:X\to Y$ z množiny $X$ do množiny $Y$ tvoří právě ty prvky množiny $X$, pro něž je definován obraz v množině $Y$. Obecně nemusí být zobrazení $T$ definováno na celé množině $X$, v tom případě tvoří jeho definiční obor podmnožinu množiny $X$. Definiční obor funkce $f$ je množina všech hodnot, pro které je funkce $f$ definována.

Definice

V matematické notaci lze definiční obor pro zobrazení $T:X\to Y$ zapsat následovně:

$D_T=\{x\in X|(\mathrm{\exists }y\in Y)(T(x)=y)\}$.

Definiční obor zobrazení $T$ resp. funkce $f$ se značí $D_T=D(T)$ resp. $D_f=D(f)$. Pro definiční obor se v zahraniční literatuře používá označení doména, pro obor hodnot pak označení kodoména.

Omezení definičního oboru

Každou funkci (resp. obecněji zobrazení) je možno omezit na libovolnou podmnožinu jejího definičního oboru. Tedy máme-li funkci $f:X\to Y$ a platí-li $A\subseteq X$, můžeme omezit funkci $f$ na množinu $A$, což značíme:

$f{|}_A:A\to Y$.

Takto upravená funkce pak působí na prvky z množiny $A$ stejným způsobem jako předtím na všechny prvky z množiny $X$. Jediným rozdílem je, že už má smysl hovořit o jejích hodnotách jen na prvcích z množiny $A$. Pro funkci $f$ se $f_A$ nazývá zúžení (restrikce) $f$ na množinu $A$.

Příklad

• Definiční obor mohou kromě čísel tvořit také např. funkce. Uvažujme množinu $𝒞$ reálných funkcí reálné proměnné, tj. funkcí $f:ℝ\to ℝ$ a operátor derivace $\text{Der}:𝒞\to 𝒞$, který vezme funkci a vrátí její derivaci, tj. opět nějakou funkci, pak definiční obor operátoru derivace $\text{Der}$ tvoří ty funkce z $𝒞$, pro něž existuje jejich derivace. Tento příklad ukazuje zobrazení, které není definováno na celé „vstupní“ množině, protože ne všechny funkce mají derivaci.
• Uvažujme topologický prostor $X$ a na něm definované zobrazení $T$ zobrazující do množiny $Y$. O zobrazení $T$ řekneme, že je hustě definované, právě když je jeho definiční obor hustou podmnožinou topologického prostoru $X$, tj. $\overline{(D_T)}=X$, kde pruh nad množinou značí uzávěr této množiny.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie

• Šablona:Citace monografie

Související články

• Obor hodnot
• Zobrazení (matematika)