Cauchyovská posloupnost

Šablona:Více obrázků Cauchyovská posloupnost (také bolzanovská posloupnost) je taková posloupnost prvků metrického prostoru (tj. množiny, na které je definována vzdálenost mezi každými dvěma prvky), jejíž členy se k sobě blíží libovolně blízko. Každá konvergentní posloupnost je nutně cauchyovská. Obráceně to platí pouze v úplném metrickém prostoru – v úplném metrickém prostoru má každá cauchyovská posloupnost limitu.

Definice

V metrickém prostoru M s metrikou $\rho$ je posloupnost $(x_1,x_2,\dots )$ cauchyovská, pokud pro každou libovolně malou (ale nenulovou) vzdálenost platí, že od jistého bodu jsou všechny členy posloupnosti k sobě blíže než je tato vzdálenost. Tuto tzv. Bolzanova-Cauchyho podmínku lze formálně zapsat

$(\mathrm{\forall }\epsilon >0)(\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }m\in \mathbb{N})(n>n_0\wedge m>n_0\Rightarrow \rho (x_n,x_m)<\epsilon )$.

Definici lze aplikovat i na racionální a reálná čísla (jakožto jednorozměrný metrický prostor s eukleidovskou metrikou): Posloupnost $(a_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ racionálních nebo reálných čísel je cauchyovská, pokud ke každému $\epsilon >0$ existuje index $n_0$ takový, že jím počínaje jsou všechny následující členy od sebe vzdáleny o méně než $\epsilon$:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }m,n\ge n_0:|a_m-a_n|<\epsilon$.

Množina racionálních čísel není úplná, takže cauchyovská posloupnost racionálních čísel nemusí mít limitu (může konvergovat k iracionálnímu číslu). Množina reálných čísel úplná je, takže každá cauchyovská posloupnost reálných čísel má limitu.

Důsledky definice

• Každá konvergentní posloupnost v metrickém prostoru je cauchyovská, tzn. Bolzanova-Cauchyho podmínka je nutná podmínka konvergence, nikoli však obecně postačující (viz příklad racionálních čísel). Metrický prostor $𝔸$, v kterém má každá cauchyovská posloupnost limitu, která náleží do tohoto metrického prostoru $𝔸$, se nazývá úplný metrický prostor.
• Každá konvergentní posloupnost reálných čísel je cauchyovská a naopak. Bolzanova-Cauchyho podmínka je nutná a postačující podmínka konvergence v reálném oboru. Cauchyovská posloupnost racionálních čísel však může mít iracionální limitu.
• Každá cauchyovská posloupnost je omezená. Z Bolzanovy–Weierstrassovy věty pak plyne, že každá cauchyovská posloupnost reálných čísel je už konvergentní, tzn. že prostor reálných čísel je úplný.

Příklady

• Harmonická posloupnost $\frac{1}{n}$ je cauchyovská.

  Důkaz: Pro libovolně zvolené $\epsilon >0$ lze vždy najít $n_0>\frac{1}{\epsilon }$ tak, že pro libovolná $n\ge m>n_0$ platí

  $|a_m-a_n|=|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}|=\left|\frac{n-m}{mn}\right|\le \frac{n}{mn}=\frac{1}{m}<\frac{1}{n_0}<\epsilon$.

• Posloupnost racionálních čísel $(1+1/n{)}^n$ je cauchyovská, ale její limita je Eulerovo číslo, což je číslo iracionální. Prostor racionálních čísel (s eukleidovskou metrikou) proto není úplný metrický prostor.

Použití

Pomocí cauchyovské posloupnosti se definuje úplný metrický prostor. V něm cauchyovské posloupnosti a konvergentní posloupnosti splývají. To pak přináší výhodu při určování, zda posloupnost má limitu, neboť stačí ověřit, zda je cauchyovská, bez nutnosti samotnou limitu zjišťovat, jako např. u Banachovy věty o pevném bodě.

Související články

• Limita posloupnosti
• Úplný metrický prostor