Bolzanova–Weierstrassova věta

Bolzanova–Weierstrassova věta je základní matematické tvrzení o konvergenci posloupností v konečném euklidovském prostoru ${ℝ}^n$. Věta říká, že každá nekonečná omezená posloupnost v ${ℝ}^n$ obsahuje konvergentní vybranou posloupnost. (Jinými slovy lze z každé omezené posloupnosti čísel nebo konečněrozměrných vektorů vybrat posloupnost, která konverguje k nějakému pevnému číslu nebo vektoru.) Ekvivalentní formulace říká, že podmnožina ${ℝ}^n$ je sekvenčně kompaktní právě tehdy, když je uzavřená a omezená. Tvrzení se proto někdy nazývá věta o sekvenční kompaktnosti.

Bolzanova–Weierstrassova věta je pojmenována po matematicích Bernardu Bolzanovi a Karlu Weierstrassovi. Poprvé ji dokázal český teolog a matematik Bolzano v roce 1817 jako lemma v rámci důkazu věty o střední hodnotě. O zhruba padesát let později byl výsledek rozpoznán jako významný sám o sobě a německý matematik Weierstrass jej dokázal znovu. Od té doby se stal základní větou matematické analýzy.

Důkaz

Nejprve dokážeme větu pro ${ℝ}^1$ (množinu všech reálných čísel), přičemž využijeme fakt, že ${ℝ}^1$ je uspořádaná množina (čísla lze seřadit podle velikosti). Pak tvrzení zobecníme na vyšší rozměry.

Lemma: Z každé nekonečné posloupnosti $(x_n)$ v ${ℝ}^1$ lze vybrat monotónní (tj. buď neklesající anebo nerostoucí) posloupnost.

Důkaz: Označme kladný celočíselný index $n$ sekvence jako vrchol sekvence, pokud $x_m\le x_n$ pro každé $m>n$ (tj. všechny členy následující po vrcholu jsou menší nebo rovny členu s indexem vrcholu). Předpokládejme nejprve, že posloupnost má nekonečně mnoho vrcholů, což znamená, že existuje vybraná posloupnost těchto vrcholů $n_1<n_2<n_3<\dots <n_j<\dots$ s hodnotami $x_{n_1}\ge x_{n_2}\ge x_{n_3}\ge \dots \ge x_{n_j}\ge \dots$ . Takže nekonečná posloupnost $(x_n)$ v ${ℝ}^1$ obsahuje nerostoucí, a tedy monotónní posloupnost. Pokud naopak vrcholů je nanejvýš konečně mnoho, tak existuje $N$ jako nejvyšší vrchol (není-li v posloupnosti vůbec žádný vrchol, položíme $N$ rovno jedné) a budeme vytvářet vybranou posloupností $(x_{n_j})$, kde $n_1=N+1$. Jelikož $n_1$ není vrchol (protože $n_1$ následuje po nejvyšším vrcholu), tak musí existovat $n_2$ tak, že $n_1<n_2$ a $x_{n_1}\le x_{n_2}$. Ani $n_2$ není ze stejného důvodu vrchol, proto existuje $n_3$, kde $n_2<n_3$ s $x_{n_2}\le x_{n_3}$. Opakování tohoto procesu vede k nekonečné neklesající posloupnosti $x_{n_1}\le x_{n_2}\le x_{n_3}\le \dots$ To dokazuje, že z každé nekonečné posloupnosti $(x_n)$ v ${ℝ}^1$ lze vybrat monotónní posloupnost. Tím je lemma dokázáno.

Pokud jsme vybírali z omezené posloupnosti, je vybraná monotónní posloupnost rovněž omezená. Z věty o monotónní konvergenci pak vyplývá, že tato monotónní posloupnost konverguje. Tím jsme Bolzanovu–Weierstrassovu větu dokázali pro ${ℝ}^1$.

Obecný případ ${ℝ}^n$ lze redukovat na ${ℝ}^1$ takto: Nechť je dána omezená posloupnost v ${ℝ}^n$. Posloupnost prvních souřadnic je omezená reálná posloupnost, má tedy konvergentní podposloupnost. Z té pak lze vybrat posloupnost, na které konverguje druhá souřadnice, a tak dále, dokud nakonec nevybereme posloupnost, na které konverguje všech $n$ souřadnic — což je stále posloupnost vybraná z původní posloupnosti. Tím je důkaz dokončen.

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat

Literatura

• Šablona:Cite book
• Šablona:Cite book