Z-transformace

Z-transformace je název několika matematických transformací.

Funkce komplexní proměnné

Z-transformace (jednostranná, unilaterální) posloupnosti $x(k)$ je definována

$X(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}x(k)z^{-k}$,

kde $z$ je komplexní proměnná. Množina hodnot $z$, pro něž sumace konverguje, se nazývá oblast konvergence. Lze ukázat, že jestliže sumace konverguje pro danou posloupnost v bodě $z_0$, pak konverguje v každém bodě $z$, pro který platí $\left|z\right|>\left|z_0\right|$. Oblast konvergence Z-transformace je tedy $\left|z\right|>R$, kde $R$ je dáno chováním posloupnosti $x(k)$ pro $k\to \mathrm{\infty }$ .

Inverzní Z-transformace je dána vztahem:

$x(k)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{C}X(z)z^{k-1}\mathrm{d}z$

kde $C$ je jednoduchá uzavřená kladně orientovaná křivka ležící v oblasti konvergence a obklopující všechny póly.

S použitím Z-transformace se setkáme hlavně při řešení diferenčních rovnic, při hledání vlastností a realizaci systémů pracujících v diskrétním čase (např. digitální signální procesor).

Ve spojitém světě se za příbuzného Z-transformace považuje Laplaceova transformace.

Statistika

Fisherova z-transformace

Je-li r výběrový koeficient korelace mezi dvěma náhodnými vektory X a Y, má Fisherova Z-transformace tvar

$Z=\frac{1}{2}\ln \frac{1+r}{1-r}$.

Pokud oba náhodné vektory X i Y pocházejí z normálního rozdělení, má takto vzniklá náhodná veličina Z přibližně normální rozdělení.

Transformace na z-skóry

Jako z-transformace se ve statistice také označuje lineární transformace souboru hodnot kvantitativního (číselného) znaku. Jejím cílem je dosáhnout u transformovaného znaku průměru rovného nule a směrodatné odchylky rovné jedné. Hodnoty po transformaci se pak označují jako z-skóry.

Je-li průměr souboru hodnot roven μ a směrodatná odchylka rovna σ, má z-transformace tvar

$y=\frac{x-\mu }{\sigma }$,

kde x jsou původní hodnoty a y transformované hodnoty.

Související články

• Fourierova transformace
• Laplaceova transformace

Externí odkazy

• Učební text Liberecké univerzity
• Učební text VŠB
• Fisherova Z-transformace na Anglické Wikipedii