Diferenční rovnice

Diferenční rovnice je rovnice pro neznámou posloupnost $(a_{n})_{n = 1}^{\infty}$ obsahující její diference.

Máme-li danou posloupnost $(a_{n})_{n = 1}^{\infty}$ , pak její (první) diference (zprava) je posloupnost definovaná jako

Δ a_{n} = a_{n + 1} - a_{n}

.

Druhá diference je diference první diference:

Δ^{2} a_{n} = Δ a_{n + 1} - Δ a_{n} = (a_{n + 2} - a_{n + 1}) - (a_{n + 1} - a_{n}) = a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} + a_{n}

Obecně k-tou diferenci definujeme jako

Δ^{k} a_{n} = Δ (Δ^{k - 1} a_{n}) = Δ^{k - 1} a_{n + 1} - Δ^{k - 1} a_{n}

.

Vztah k rekurentním rovnicím

Lineární rekurentní rovnice lze jednoznačně převést na (tzv. přidružené) diferenční rovnice a naopak; někteří autoři používají tyto dva pojmy zaměnitelně. Například, diferenční rovnice

3 Δ^{2} a_{n} + 2 Δ a_{n} + 7 a_{n} = 0

je ekvivalentní přidružené rekurentní rovnici

3 a_{n + 2} - 4 a_{n + 1} + 8 a_{n} = 0

.

Šablona:Autoritní data

Diferenční rovnice

Vztah k rekurentním rovnicím

Navigační menu

Hledat