Integrační faktor

V matematice je integrační faktor funkce, kterou je potřeba znásobit danou rovnici obsahující diferenciály, abychom dostali její řešení. Používá se nejen pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic, ale i v diferenciálním a integrálním počtu funkcí více proměnných, kde můžeme neexaktní diferenciál vynásobením integračním faktorem převést na exaktní (který je pak možné integrovat pro získání skalárního pole). To je zvlášť užitečné v termodynamice. Například funkce $1/\mathrm{\Theta }$ ($\mathrm{\Theta }$je termodynamická teplota) je integračním faktorem veličiny $Q$ (teplo). Diferenciál $\delta Q$ není ve stavových proměnných totální diferenciál, kdežto $\text{<mi fromhbox="1">d</mi>}\frac{Q}{\mathrm{\Theta }}$ již ano. Veličina $\int \frac{\delta Q}{\mathrm{\Theta }}$ je již stavovou funkcí a až na konstantu $S_0$ určuje veličinu entropie.

Použití při řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu

Integrační faktory jsou užitečné pro řešení obyčejných diferenciálních rovnice, které lze vyjádřit ve tvaru

$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$

Základní myšlenkou je najít nějakou funkci $M(x)$ nazývanou „integrační faktor“, kterou můžeme znásobit naši diferenciální rovnici, abychom levou stranu dostali pod společnou derivaci. Pro kanonické lineární diferenciální rovnice prvního řádu uvedeného tvaru použijeme integrační faktor

$M(x)=e^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)\mathrm{d}s}$

znásobení původní rovnice výrazem $M(x)$ dává

$y^{\prime }{e}^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)\mathrm{d}s}+P(x)y{e}^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)\mathrm{d}s}=Q(x)e^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)\mathrm{d}s}$

a použitím součinového pravidla v opačném směru lze levou stranu vyjádřit jako jedinou derivaci podle $x$

$y^{\prime }{e}^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)\mathrm{d}s}+P(x)y{e}^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)\mathrm{d}s}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y{e}^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)\mathrm{d}s})$

Tuto skutečnost použijeme pro zjednodušení našeho výrazu na

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y{e}^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)\mathrm{d}s})=Q(x)e^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)\mathrm{d}s}$

Pak obě strany integrujeme vzhledem k $x$, přičemž nejdříve přejmenujeme $x$ na $t$, takže dostaneme

$y{e}^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)\mathrm{d}s}=\underset{t_0}{\overset{x}{\int }}Q(t)e^{\underset{s_0}{\overset{t}{\int }}P(s)\mathrm{d}s}\mathrm{d}t+C$

Přesunutím exponenciálních funkcí na pravou stranu dostaneme obecné řešení naší obyčejné diferenciální rovnice:

$y=e^{-\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)\mathrm{d}s}\underset{t_0}{\overset{x}{\int }}Q(t)e^{\underset{s_0}{\overset{t}{\int }}P(s)\mathrm{d}s}\mathrm{d}t+C{e}^{-\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)\mathrm{d}s}$

V případě homogenní diferenciální rovnice, u níž je $Q(x)=0$, dostáváme

$y=\frac{C}{e^{\underset{s_0}{\overset{x}{\int }}P(s)\mathrm{d}s}}$

kde $C$ je konstanta.

Příklad

Řešte diferenciální rovnici

$y^{\prime }-\frac{2y}{x}=0.$

Vidíme, že v tomto případě $P(x)=\frac{-2}{x}$

$M(x)=e^{\int P(x)\mathrm{d}x}$

$M(x)=e^{\int \frac{-2}{x}\mathrm{d}x}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}$ (všimněte si, že nemusíme používat integrační konstantu – stačí nám libovolné řešení, nepotřebujeme obecné řešení)

$M(x)=\frac{1}{x^2}.$

Znásobením obou stran výrazem $M(x)$ dostaneme

$\frac{y^{\prime }}{x^2}-\frac{2y}{x^3}=0$

$\frac{y^{\prime }{x}^3-2x^{2}y}{x^5}=0$

$\frac{x(y^{\prime }{x}^2-2xy)}{x^5}=0$

$\frac{y^{\prime }{x}^2-2xy}{x^4}=0.$

Obrácením podílového pravidla dostaneme

$\left(\frac{y}{x^2}\right)=0$

nebo

$\frac{y}{x^2}=C$

což dává

$y\left(x\right)=C{x}^2.$

Obecné použití

Integrační faktor je libovolný výraz, kterým násobíme diferenciální rovnici, abychom umožnili její integraci. Není omezen na lineární rovnice prvního řádu. Například u nelineární rovnice druhého řádu

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}=A{y}^{2/3}$

lze jako integrační faktor použít $\frac{dy}{dt}$:

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=A{y}^{2/3}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}.$

Pro integraci si všimněte, že obráceným použitím řetězového pravidla lze obě strany rovnice vyjádřit jako derivace:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(A\frac{3}{5}{y}^{5/3}\right).$

odtud

${\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2=\frac{6A}{5}{y}^{5/3}+C_0.$

Tento tvar může být v některých případech užitečnější. Provedením separace proměnných dostaneme:

$\int \frac{dy}{\sqrt{\frac{6A}{5}{y}^{5/3}+C_0}}=t+C_1;$

toto je implicitní řešení, které zahrnuje neelementární integrál. Pro svou složitost pravděpodobně není příliš užitečné, ale jedná se o obecné řešení. Stejnou metodu lze použít pro výpočet periody jednoduchého kyvadla.

Reference

• Šablona:Citace periodika.

Související články

• Variace konstant
• Příklady diferenciálních rovnic
• Součinové pravidlo
• Exaktní diferenciál