Separace proměnných

Šablona:Upravit Separace proměnných (Fourierova metoda) je postup při řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic v matematice založený na převedení nezávislé proměnné na jednu stranu a závislé proměnné na druhou stranu rovnice a následné integraci obou stran rovnice.

Separaci proměnných nelze provést u všech diferenciálních rovnic. Rovnice, u kterých separaci proměnných provést lze, bývají označovány jako separabilní (separovatelné).

Obyčejná diferenciální rovnice

Předpokládejme, že diferenciální rovnici lze zapsat ve tvaru

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=g(x)h(f(x))$

pro $y=f(x)$ můžeme psát:

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=g(x)h(y).$

Pokud h(y) ≠ 0, můžeme rovnici upravit:

$\frac{\mathrm{d}y}{h(y)}=g(x)\mathrm{d}x,$

takže na každé straně rovnice je jenom jedna z proměnných x a y. S dx (a dy) můžeme pracovat jako s jinými prvky ve výrazu, aniž by nás zajímala formální definice dx jako diferenciálu.

Alternativní zápis

Místo Leibnizovy notace můžeme použít zápis

$\frac{1}{h(y)}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=g(x),$

ze kterého ale není zcela zjevné, proč se tato metoda nazývá „separace proměnných“. Integrováním obou stran rovnice podle $x$ dostáváme:

$\int \frac{1}{h(y)}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x=\int g(x)\mathrm{d}x,(1)$

nebo ekvivalentně,

$\int \frac{1}{h(y)}\mathrm{d}y=\int g(x)\mathrm{d}x$

díky substitučnímu pravidlu pro integrály.

Pro vyřešení rovnice stačí spočítat oba integrály. Tento postup nám umožňuje efektivně považovat derivace $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ za zlomky, které mohou být rozděleny. To umožňuje postupovat při řešení separabilních diferenciálních rovnic podobně jako při úpravě aritmetických výrazů:

Poznámka: Při integraci rovnice (1) není třeba používat dvě integrační konstanty jako v

$\int \frac{1}{h(y)}\mathrm{d}y+C_1=\int g(x)\mathrm{d}x+C_2,$

stačí zavést jedinou konstantu, která je jejich rozdílem: $C=C_2-C_1$.

Příklad (I)

Obyčejnou diferenciální rovnici

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=f(x)(1-f(x))$

můžeme zapsat jako

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y(1-y).$

Pokud položíme $g(x)=1$ a $h(y)=y(1-y)$, můžeme tuto rovnici zapsat ve tvaru rovnice (1) výše. Tato diferenciální rovnice je tedy separabilní.

Jak je ukázáno výše, můžeme považovat $\mathrm{d}y$ a $\mathrm{d}x$ za zvláštní hodnoty, takže obě strany rovnice můžeme znásobit $\mathrm{d}x$. Vydělením obou stran výrazem $y(1-y)$ dostáváme

$\frac{\mathrm{d}y}{y(1-y)}=\mathrm{d}x.$

Tím jsou proměnné x a y separované, protože x je na pravé straně rovnice a y pouze na levé.

Integrováním obou stran dostaneme

$\int \frac{\mathrm{d}y}{y(1-y)}=\int \mathrm{d}x,$

což pomocí rozkladu na parciální zlomky převedeme na

$\int \frac{1}{y}\mathrm{d}y+\int \frac{1}{1-y}\mathrm{d}y=\int 1\mathrm{d}x,$

a pak

$\ln |y|-\ln |1-y|=x+C$

kde C je integrační konstanta. Trocha algebry dává řešení pro y:

$y=\frac{1}{1+B{e}^{-x}}.$

Naše řešení můžeme zkontrolovat zderivováním nalezené funkce podle proměnné x, kde B je libovolná konstanta. Výsledek se musí shodovat s původním problémem. (Při řešení rovnice uvedené výše musíme být opatrní při práci s absolutními hodnotami. Ukazuje se, že různá znaménka absolutní hodnoty přispívají postupně ke kladným a záporným hodnotám B. Případ B = 0 pochází z y = 1, jak je diskutováno níže.)

Nezapomeňte, že protože jsme dělili $y$ a $(1-y)$, musíme zkontrolovat, zda řešení $y(x)=0$ a $y(x)=1$ není také řešením (singulárním) diferenciální rovnice (v tomto případě obě tyto funkce řešením jsou).

Příklad (II)

Populační růst je často znázorněn diferenciální rovnicí

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=kP(1-\frac{P}{K}),$

kde $P$ je populace jako funkce času $t$, $k$ je rychlost růstu a $K$ je nosná kapacita prostředí.

Pro řešení této diferenciální rovnice lze použít separaci proměnných.

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=kP(1-\frac{P}{K})$

$\int \frac{\mathrm{d}P}{P(1-\frac{P}{K})}=\int k\mathrm{d}t$

Pro výpočet integrálu na levé straně zlomek zjednodušíme

$\frac{1}{P(1-\frac{P}{K})}=\frac{K}{P(K-P)}$

a pak jej rozložíme na částečné zlomky

$\frac{K}{P(K-P)}=\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}$

Čímž dostaneme

$\int (\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P})\mathrm{d}P=\int k\mathrm{d}t$

$\ln \left|\begin{array}{c}P\end{array}\right|-\ln \left|\begin{array}{c}K-P\end{array}\right|=kt+C$

$\ln \left|\begin{array}{c}K-P\end{array}\right|-\ln \left|\begin{array}{c}P\end{array}\right|=-kt-C$

$\ln \left|\begin{array}{c}\frac{K-P}{P}\end{array}\right|=-kt-C$

$\left|\begin{array}{c}\frac{K-P}{P}\end{array}\right|=e^{-kt-C}$

$\left|\begin{array}{c}\frac{K-P}{P}\end{array}\right|=e^{-C}{e}^{-kt}$

$\frac{K-P}{P}=\pm e^{-C}{e}^{-kt}$

Nechť $A=\pm e^{-C}$.

$\frac{K-P}{P}=A{e}^{-kt}$

$\frac{K}{P}-1=A{e}^{-kt}$

$\frac{K}{P}=1+A{e}^{-kt}$

$\frac{P}{K}=\frac{1}{1+A{e}^{-kt}}$

$P=\frac{K}{1+A{e}^{-kt}}$

Proto řešení logistické rovnice je

$P\left(t\right)=\frac{K}{1+A{e}^{-kt}}$

Pro nalezení $A$, položíme $t=0$ a $P\left(0\right)=P_0$. Pak máme

$P_0=\frac{K}{1+A{e}^0}$

Vzhledem k tomu, že $e^0=1$, dostaneme řešení pro A

$A=\frac{K-P_0}{P_0}$

Parciální diferenciální rovniceŠablona:Anchor

Metoda separace proměnných se používá také pro řešení množství lineárních parciálních diferenciálních rovnic s okrajovou a počáteční podmínkou, jako například rovnice vedení tepla, vlnová rovnice, Laplaceova rovnice a Helmholtzova rovnice.

Homogenní případ

Uvažujme jednorozměrnou rovnici vedení tepla:

Hraniční podmínka je homogenní, to jest Šablona:Vzorec

Pokusíme se hledat řešení které není identicky rovné nule, a které splňuje okrajovou podmínku ale s následující vlastností: u je součin, ve kterém je závislost u na x a t oddělena, to jest:

Substitucí u zpátky do rovnice a použitím součinového pravidla dostaneme

Protože pravá strana závisí pouze na x a levá strana pouze na t, obě strany jsou rovné nějaké konstantní hodnotě − λ. Tedy:

a

− λ zde je vlastní hodnota pro oba diferenciální operátory a T(t) a X(x) jsou odpovídající vlastní funkce.

Nyní ukážeme, že řešení pro X(x) pro hodnoty λ ≤ 0 nemůže existovat:

Předpokládejme, že λ < 0. Pak existují reálná čísla B, C taková, že

$X(x)=B{e}^{\sqrt{-\lambda }x}+C{e}^{-\sqrt{-\lambda }x}.$

Z Šablona:EqNote dostaneme

a proto B = 0 = C, což implikuje, že u je identicky rovno 0.

Předpokládejme, že λ = 0. Pak existují reálná čísla B, C taková, že

$X(x)=Bx+C.$

Z Šablona:EqNote odvodíme stejným způsobem jako v 1, že u je identicky rovno 0.

Proto musí existovat případ, kdy λ > 0. Pak existují reálná čísla A, B, C taková, že

$T(t)=E^{-\lambda \alpha t},$

a

$X(x)=B\sin (\sqrt{\lambda }x)+C\cos (\sqrt{\lambda }x).$

Z Šablona:EqNote dostaneme C = 0 a, které pro nějaké kladné celé číslo n,

$\sqrt{\lambda }=n\frac{\pi }{L}.$

Toto je řešení rovnice šíření tepla ve speciálním případě, kdy závislost u má speciální tvar Šablona:EqNote.

Obecně suma řešení Šablona:EqNote které vyhovují hraniční podmínce Šablona:EqNote také vyhovuje Šablona:EqNote a Šablona:EqNote. Tudíž úplné řešení může být daný jako

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{D}_n\sin \frac{n\pi x}{L}\exp (-\frac{n^2{\pi }^2\alpha t}{L^2}),$

kde D_n jsou koeficienty určené počáteční podmínkou.

Je-li dána počáteční podmínka

$u{|}_{t=0}=f(x),$

můžeme dostat

$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{D}_n\sin \frac{n\pi x}{L}.$

Toto je sinová řada rozvoje funkce f(x). Znásobením obou stran $\sin \frac{n\pi x}{L}$ a integrováním na [0,L] dává

$D_n=\frac{2}{L}\underset{0}{\overset{L}{\int }}f(x)\sin \frac{n\pi x}{L}\mathrm{d}x.$

Tato metoda vyžaduje, aby vlastní funkce x, zde ${\{\sin \frac{n\pi x}{L}\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, byly ortogonální a úplné. To je obecně zaručeno Sturm-Liouvilleovou teorií.

Nehomogenní případ

Předpokládejme, že rovnice je nehomogenní

s okrajovou podmínkou stejnou jako Šablona:EqNote.

Rozšíříme h(x,t), u(x,t) a f(x,t) na

kde h_n(t) a b_n můžeme vypočítat integrací, zatímco u_n(t) je třeba určit.

Substitujeme Šablona:EqNote a Šablona:EqNote zpátky na Šablona:EqNote a uvažováním ortogonality funkce sinus dostaneme

$u{\text{'}}_n(t)+\alpha \frac{n^2{\pi }^2}{L^2}{u}_n(t)=h_n(t),$

což jsou posloupnosti lineárních diferenciálních rovnic, které lze ihned řešit, například Laplaceovou transformací nebo Integrační faktor. Navíc můžeme dostat

$u_n(t)=e^{-\alpha \frac{n^2{\pi }^2}{L^2}t}(b_n+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{h}_n(s)e^{\alpha \frac{n^2{\pi }^2}{L^2}s}\mathrm{d}s).$

Jestliže je okrajová podmínka nehomogenní, pak expansion Šablona:EqNote a Šablona:EqNote není povolený. Hledáme funkci v, která vyhovuje okrajové podmínce pouze a subtract na z u. Funkce u-v pak vyhovuje homogenní okrajové podmínce a lze ji řešt výše uvedenou metodou.

Separaci proměnných lze provádět i v ortogonální křivočaré souřadnicové soustavě, ale v detailech se liší od postupu v Kartézských souřadnicích. Například podmínka regularity nebo periodicity podmínka může určovat vlastní hodnoty místo okrajových podmínek. Viz např. sférické harmonické funkce.

Software

Xcas: split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]

Matice

Maticový tvar separace proměnných je Kroneckerova suma.

Jako příklad uvažujme 2D diskrétní Laplacián na regulární mřížce:

$L={𝐃}_{𝐱𝐱}\oplus {𝐃}_{𝐲𝐲}={𝐃}_{𝐱𝐱}\otimes 𝐈+𝐈\otimes {𝐃}_{𝐲𝐲},$

kde ${𝐃}_{𝐱𝐱}$ a ${𝐃}_{𝐲𝐲}$ jsou 1D diskrétní Laplaciány ve směru x, resp. y a $𝐈$ jsou identity vhodné velikosti. Podrobnější informace jsou v článku Kroneckerova suma diskrétních Laplaciánů.

Reference

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografieŠablona:Nedostupný zdroj
• Šablona:Citace monografieŠablona:Nedostupný zdroj

Související články

• Proměnná
• Diferenciální rovnice

Podrobnější informace o separaci proměnných:

• Obyčejné diferenciální rovnice
• Parciální diferenciální rovnice

Externí odkazy

• Šablona:Citace elektronické monografie
• Šablona:Citace elektronické monografie
• Methods of Generalized and Functional Separation of Variables at EqWorld: The World of Mathematical Equations
• Examples of separating variables to solve PDEs
• "A Short Justification of Separation of Variables"