Logistická funkce

Sigmoida

Logistická funkce nebo též logistická křivka je reálná funkce definovaná jako

$f(t;a,m,n,\tau )=a\frac{1+m{e}^{-t/\tau }}{1+n{e}^{-t/\tau }}$

kde f je funkční hodnota, a, m, n, a τ reálné parametry. Nezávisle proměnná se označuje t, protože logistická funkce se často používá pro modelování vývoje v čase. V počáteční fázi je růst přibližně exponenciální, později s rostoucím nasycením se zpomaluje, a nakonec se asymptoticky zastaví. Logistická funkce se často používá v empirických vědách například pro modelování růstu populací a koncentrací.

Sigmoida

Významným příkladem logistické funkce je speciální případ s parametry a = 1, m = 0, n = 1, τ = 1, tedy

$P(t)=\frac{1}{1+e^{-t}}$

Tato logistická funkce se pro svůj tvar někdy označuje též jako sigmoida. Je řešením nelineární diferenciální rovnice prvního řádu

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=P(1-P),\text{(2)}$

s počáteční podmínkou P(0) = 1/2. Používá se často jako sponová funkce (link function) ve statistických modelech (logistická regrese) pro transformaci vstupních hodnost do intervalu $(0,1)$, což umožňuje přímý převod na procenta (např. úspěšnost nalezené shody při analýze obrazu, zvuku, textu atp.).

Význam

Logistické křivky se objevují jako řešení různých modelů například v demografii, biologii a ekonomii.

Související články

• Gaussova křivka (funkce hustoty normálního rozdělení)
• Hyperbolický tangens
• Chybová funkce
• Logistická regrese
• Přechodový jev
• Exponenciální funkce
• Logaritmická funkce

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat