Asymptota

Asymptota.

Asymptotami funkce y = 1/x jsou osy x a y

Asymptota (asymptotická přímka) určité křivky je taková přímka, jejíž vzdálenost od této křivky se limitně blíží k nule, když se jedna nebo obě souřadnice blíží nekonečnu. Asymptotický je vztah dvou veličin, které se k sobě limitně přibližují. Slovo je z řec. asymptótos, neshodný.

Definice

Mějme bod $T$ rovinné křivky a přímku $p$. Označme vzdálenost bodu $T$ od přímky jako $\nu$. Pokud alespoň jedna souřadnice bodu $T$ roste nade všechny meze a současně $\lim \nu =0$, pak se přímka $p$ nazývá asymptotou.

Asymptota grafu funkce

Asymptotu grafu funkce rozlišujeme se směrnicí a bez směrnice.

Asymptota se směrnicí

Přímka $y=kx+q$ je asymptotou grafu funkce $y=f(x)$ se směrnicí právě tehdy, jestliže platí:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \pm \mathrm{\infty }}(f(x)-kx-q)=0$.

Je-li rovnice asymptoty $y=kx+q$, potom platí:

$k=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{x}$

$q=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }(f(x)-kx)$

Asymptota bez směrnice

Je-li funkce $y=f(x)$ definovaná pro $x\ne a\in 𝖱$, potom graf funkce f má asymptotu bez směrnice právě tehdy, jestliže existuje alespoň jedna jednostranná nevlastní limita v bodě a. Rovnice takové asymptoty je potom

$x=a$.

Asymptota kuželosečky

Asymptotou kuželosečky je mezní poloha tečny kuželosečky - přímka, která se ke kuželosečce neomezeně blíží, ale nemá s ní žádný společný (vlastní) bod.

V projektivní geometrii platí, že asymptota je tečna v nevlastním bodě

Další asymptoty

Pokud lze rovnici křivky zapsat jako

$y=ax+b+\mu (x)$,

přičemž $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\mu (x)=0$, pak přímka $y=ax+b$ je asymptotou dané křivky.

Platí-li pro křivku $y=f(x)$ vztah $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }y=b$, pak asymptotou křivky je přímka $y=b$.

Obdobně lze tvrdit, že pokud pro křivku $x=g(y)$ platí $\underset{y\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }x=c$, pak asymptotou křivky je přímka $x=c$.

Literatura

• Ottův slovník naučný, heslo Asymptota. Sv. 2, str. 933

Související články

• Průběh funkce
• Asymptotický bod
• Asymptotická křivka
• Asymptotická složitost

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat