Gaussova funkce

Grafy normalizovaných gaussovských funkcí s různými parametry

Gaussova funkce pojmenovaná po matematikovi Carlu Friedrichu Gaussovi je reálná funkce jedné reálné proměnné $x$ se třemi parametry $a,\mu ,\sigma$ ve tvaru

$f\left(x\right)=a{e}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}.$

Čísla $a$ a $\sigma$ musí být kladná, $\mu$ je libovolné reálné, $e$ je Eulerovo číslo (2,71828...). Graf funkce má v bodě $x=\mu$ vrchol o výšce $a$, který graf dělí na dvě vzájemně souměrné části – levou rostoucí z 0 a pravou klesající asymptoticky zpět k 0. Parametr $\sigma$ určuje šířku „kopce“ ve výšce $a{e}^{-1/8}\approx 0,8825a$. V polovině výšky má graf šířku $2\sigma \sqrt{2\ln 2}\approx 2,3548\sigma$.

Normalizované funkce

Gaussova funkce se velmi často používá ve významu hustoty pravděpodobnosti. V takovém případě musí být její integrál (plocha pod grafem) přes celý definiční obor roven 1, což představuje pravděpodobnost jistého jevu.

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x=1$

Tuto normalizační podmínku lze splnit vhodnou volbou konstanty $a$. Nejjednodušší gaussovskou funkcí je $g(x)=e^{-x^2}$, jejíž integrál je roven $\sqrt{\pi }$ (viz Gaussův integrál), takže její normalizovaná verze musí mít tvar

$g_{\mathrm{n}}(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{e}^{-x^2}.$

Parametr $\mu$ pouze posouvá graf podél osy $x$, takže nemá vliv na hodnotu integrálu. Parametr $\sigma$ graf rozšiřuje a integrál se přitom násobí číslem $\sigma \sqrt{2}$. Obecná normalizovaná Gaussova funkce tedy musí mít tvar

$f_{\mathrm{n}}(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}.$

Parametr $\mu$ má v tomto případě význam střední hodnoty náhodné veličiny a parametr $\sigma$ je směrodatná odchylka.

Fourierova transformace

Z matematického a fyzikálního hlediska jsou Gaussovy funkce významné také tím, že při $\mu =0$ je Fourierovým obrazem funkce opět Gaussova funkce, obecně s jinými parametry.

$\hat{f}(\xi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-i\xi x}\mathrm{d}x=a\sigma e^{-{\sigma }^2{\xi }^2/2}$

Je-li navíc $\sigma =1$, je Gaussova funkce obrazem sama sebe ($\hat{f}=f$), takže představuje pevný bod Fourierovy transformace. Ze všech normalizovaných funkcí má tuto vlastnost pouze jediná:

$f_{\mathrm{n}}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}.$

Odkazy

Související články

• Normální rozdělení

Externí odkazy

• Gaussian Function – Wolfram MathWorld