Plocha

Plocha označuje v matematice a fyzice dvojrozměrný geometrický útvar. Příkladem ploch jsou rovina, kulová plocha, povrch válce nebo kuželová plocha. Přesné matematické definice se v různých kontextech a v různých teoriích liší.

Výraz plocha se někdy nesprávně používá nejen pro označení geometrického útvaru, ale také pro označení obsahu geometrického tělesa.

Plochy v euklidovském prostoru

V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného euklidovského prostoru. Můžeme ji definovat jako množinu všech bodů, jejichž souřadnice vyhovují rovnici

$F(x,y,z)=0$,

kde $F$ je funkce, která má v každém bodě spojitou parciální derivaci alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.

Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají regulární body plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu nulové označujeme jako singulární body. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol kužele.

Singulární bod, v němž funkce $F$ má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá kónický bod plochy.

Plocha určená svojí normálou se označuje jako orientovaná plocha.

Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech.

Implicitní rovnice plochy

Implicitní rovnice plochy má tvar

$F(x,y,z)=0$

Parametrické rovnice

Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny soustavou rovnic

$x=x(u,v)$

$y=y(u,v)$

$z=z(u,v)$

Tato soustava rovnic představuje parametrické vyjádření plochy, přičemž $u,v$ jsou parametry plochy. Každou dvojici $u,v$ z určitého oboru $\mathrm{\Omega }$ nazýváme bodem plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na $\mathrm{\Omega }$ spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle $u$ a $v$.

Explicitní rovnice plochy

Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar

$z=f(x,y)$,

pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.

Základní rovnice plochy

Vztahy mezi normálou plochy $𝐧$, rádiusvektorem $𝐫$ a jejich derivacemi určují tzv. základní rovnice plochy. Tyto rovnice lze pro plochu určenou $𝐫=𝐫(u,v)$ uvést v různých tvarech.

Weingartenovy rovnice plochy

Weingartenovy rovnice plochy určují vztahy mezi derivacemi vektorů $𝐧$ a $𝐫$.

$\frac{\partial 𝐧}{\partial u}=\frac{FM-GL}{EG-F^2}\frac{\partial 𝐫}{\partial u}+\frac{FL-EM}{EG-F^2}\frac{\partial 𝐫}{\partial v}$

$\frac{\partial 𝐧}{\partial v}=\frac{FN-GM}{EG-F^2}\frac{\partial 𝐫}{\partial u}+\frac{FM-EN}{EG-F^2}\frac{\partial 𝐫}{\partial v}$

$\frac{\partial 𝐫}{\partial u}=\frac{MF-NE}{LN-M^2}\frac{\partial 𝐧}{\partial u}+\frac{ME-LF}{LN-M^2}\frac{\partial 𝐧}{\partial v}$

$\frac{\partial 𝐫}{\partial v}=\frac{MG-NF}{LN-M^2}\frac{\partial 𝐧}{\partial u}+\frac{MF-LG}{LN-M^2}\frac{\partial 𝐧}{\partial v}$

kde $E,F,G$ jsou základní veličiny plochy prvního řádu a $L,M,N$ jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Gaussovy rovnice plochy

Gaussovy rovnice plochy umožňují určit druhou derivaci polohového vektoru $𝐫$.

$\frac{{\partial }^2𝐫}{\partial u^2}=\frac{G\frac{\partial E}{\partial u}-2F\frac{\partial F}{\partial u}+F\frac{\partial E}{\partial v}}{2(EG-F^2)}\frac{\partial 𝐫}{\partial u}+\frac{-F\frac{\partial E}{\partial u}+2E\frac{\partial F}{\partial u}-E\frac{\partial E}{\partial v}}{2(EG-F^2)}\frac{\partial 𝐫}{\partial v}+L𝐧$

$\frac{{\partial }^2𝐫}{\partial u\partial v}=\frac{G\frac{\partial E}{\partial v}-F\frac{\partial G}{\partial u}}{2(EG-F^2)}\frac{\partial 𝐫}{\partial u}+\frac{E\frac{\partial G}{\partial u}-F\frac{\partial E}{\partial v}}{2(EG-F^2)}\frac{\partial 𝐫}{\partial v}+M𝐧$

$\frac{{\partial }^2𝐫}{\partial v^2}=\frac{-F\frac{\partial G}{\partial v}+2G\frac{\partial F}{\partial v}-G\frac{\partial G}{\partial u}}{2(EG-F^2)}\frac{\partial 𝐫}{\partial u}+\frac{E\frac{\partial G}{\partial v}-2F\frac{\partial F}{\partial v}+F\frac{\partial G}{\partial u}}{2(EG-F^2)}\frac{\partial 𝐫}{\partial v}+N𝐧$

kde $E,F,G$ jsou základní veličiny plochy prvního řádu a $L,M,N$ jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Codazziho rovnice plochy

Codazziho (nebo také Mainardiho) rovnice plochy určují vztahy mezi základními veličinami plochy prvního řádu $E,F,G$ a základními veličinami plochy druhého řádu $L,M,N$.

$(EG-2F^2+GE)(\frac{\partial L}{\partial v}-\frac{\partial M}{\partial u})-(EN-2FM+GL)(\frac{\partial E}{\partial v}-\frac{\partial F}{\partial u})+\left|\begin{array}{ccc}E& \frac{\partial E}{\partial u}& L\\ F& \frac{\partial F}{\partial u}& M\\ G& \frac{\partial G}{\partial u}& N\end{array}\right|=0$

$(EG-2F^2+GE)(\frac{\partial M}{\partial v}-\frac{\partial N}{\partial u})-(EN-2FM+GL)(\frac{\partial F}{\partial v}-\frac{\partial G}{\partial u})+\left|\begin{array}{ccc}E& \frac{\partial E}{\partial v}& L\\ F& \frac{\partial F}{\partial v}& M\\ G& \frac{\partial G}{\partial v}& N\end{array}\right|=0$

Vlastnosti

• Zavedeme matici

$\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial z}{\partial u}\\ \frac{\partial x}{\partial v}& \frac{\partial y}{\partial v}& \frac{\partial z}{\partial v}\end{array}\right)$

Body plochy, v nichž má tato matice hodnost $h=2$ jsou regulárními body. Je-li hodnost matice $h<2$, pak jde o singulární body.

• Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v $\mathrm{\Omega }$ nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost $h=2$, pak plochu označujeme jako hladkou.

Související články

• Prostorové geometrické útvary
• Přímková plocha
• Kvadratická plocha
• Kuželová plocha
• Válcová plocha
• Obsah

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Šablona:Wikicitáty
• Šablona:Wikislovník
• Šablona:Otto