Sférické harmonické funkce

Šablona:Upravit Šablona:Neověřeno Sférické harmonické funkce jsou ortogonální řešení úhlové části Laplaceovy rovnice vyjádřená ve sférických souřadnicích. Mají využití v mnoha oblastech matematiky a fyziky - např. jsou vhodné pro snadné vyjádření multipólového rozvoje v elektrostatice, pro řešení Schrödingerovy rovnice pro atom vodíku, pro velmi dobrou aproximaci gravitačního pole Země v její blízkosti či pro analýzu reliktního záření.

Úvod

Sloupce: l=0 do 4
Řádky: m=0 do ±4
Dvě neimaginární sférické harmoniky, které jsou lineární kombinací Y_l,m a Y_l,-m jsou shodné, ale navzájem otočené o 90 stupňů kolem osy z.

Laplaceova rovnice ve sférických souřadnicích je:

$\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}=0$

(viz sférická soustava souřadnic).

Separace proměnných vede k řešení vyjádřitelnému v goniometických funkcích a Legendrových polynomech.

Obecné řešení, které je konečné s r jdoucím k nekonečnu, je lineární kombinací funkcí ve tvaru

$r^{-1-\ell }\cos (m\phi )P_{\ell }^m(\cos \theta )$

a

$r^{-1-\ell }\sin (m\phi )P_{\ell }^m(\cos \theta )$

kde $P_{\ell }^m$ jsou přidružené Legendrovy polynomy s celočíselnými parametry $\ell \ge 0$ a m od 0 do $\ell$.

Jinými slovy řešení s celočíselnými parametry $\ell \ge 0$ a m od $-\ell$ do $\ell$ lze psát jako lineární kombinaci:

$U_{\ell ,m}(r,\theta ,\phi )=r^{-1-\ell }{Y}_{\ell }^m(\theta ,\phi )$

kde funkce Y jsou sférické harmonické funkce s parametry l, m, které lze psát jako:

$Y_{\ell }^m(\theta ,\phi )=\sqrt{\frac{(2\ell +1)}{4\pi }\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\cdot e^{im\phi }\cdot P_{\ell }^m(\cos \theta )$

Sférické harmoniky splňují normalizační podmínku (δ_aa = 1 a δ_ab = 0 pokud a ≠ b)

$\underset{\theta =0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{\phi =0}{\overset{2\pi }{\int }}{Y}_{\ell }^m{Y}_{{\ell }^{\prime }}^{m^{\prime }*}\mathrm{d}\mathrm{\Omega }={\delta }_{\ell {\ell }^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }},\mathrm{d}\mathrm{\Omega }=\sin \theta \mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta$

platí pro ně

$Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\phi )={(-1)}^m{Y}_{\ell }^{m*}(\theta ,\phi )$

a splňují relace úplnosti

$\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-\ell }^{\ell }{Y}_{\ell }^m(\theta ,\phi )Y_{\ell }^{m*}({\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime })=\delta (\cos \theta -\cos {\theta }^{\prime })\delta (\phi -{\phi }^{\prime }),$

kde δ(x) je Diracova delta funkce.

Y1
Y2
Y3

Alternativní sadu sférických harmonik bez imaginární části získáme jako

$Y_{\ell }^0\text{ pro }0\le \ell \le \mathrm{\infty }$

a

$\frac{1}{\sqrt{2}}((-1{)}^m{Y}_{\ell }^m+Y_{\ell }^{-m})\text{ pro }0\le \ell \le \mathrm{\infty },1\le m\le \ell$

a

$\frac{1}{i\sqrt{2}}((-1{)}^m{Y}_{\ell }^m-Y_{\ell }^{-m})\text{ pro }0\le \ell \le \mathrm{\infty },1\le m\le \ell$

Sférické harmoniky vyjádřené v kartézských souřadnicích vyjádříme dosazením

$\cos \theta =\frac{z}{r},e^{\pm ni\phi }\cdot {\sin }^n\theta =\frac{(x\pm iy{)}^n}{r^n},r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Prvních několik sférických harmonik

Zde jsou první sférické harmoniky:

$Y_0^0(\theta ,\phi )=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{\pi }}$

$Y_1^{-1}(x)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi }}\cdot e^{-i\phi }\cdot \sin \theta =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi }}\cdot \frac{(x-iy)}{r}$

$Y_1^0(x)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi }}\cdot \cos \theta =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi }}\cdot \frac{z}{r}$

$Y_1^1(x)=\frac{-1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi }}\cdot e^{i\phi }\cdot \sin \theta =\frac{-1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi }}\cdot \frac{(x+iy)}{r}$

$Y_2^{-2}(\theta ,\phi )=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}\cdot e^{-2i\phi }\cdot {\sin }^2\theta$

$Y_2^{-1}(\theta ,\phi )=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}\cdot e^{-i\phi }\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta$

$Y_2^0(\theta ,\phi )=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{\pi }}\cdot (3{\cos }^2\theta -1)$

$Y_2^1(\theta ,\phi )=\frac{-1}{2}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}\cdot e^{i\phi }\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta$

$Y_2^2(\theta ,\phi )=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi }}\cdot e^{2i\phi }\cdot {\sin }^2\theta$

$Y_3^0(\theta ,\phi )=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{7}{\pi }}\cdot (5{\cos }^3\theta -3\cos \theta )$

Související články

Seznam sférických harmonických funkcí

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat