Sférická soustava souřadnic

Sférická soustava souřadnic (kulová soustava souřadnic) je soustava křivočarých souřadnic v prostoru, v níž jedna souřadnice (označovaná $r$) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná $\phi$) udává úhel odklonu průvodiče bodu od osy $x$ a třetí souřadnice (označovaná $\theta$) úhel mezi průvodičem a osou $z$.

Sférické souřadnice se s mírnou obměnou užívají např. v zeměpisu jako zeměpisné souřadnice.

Sférická soustava souřadnic je obecně vhodná v problémech, které mají sférickou symetrii. Tyto mají zpravidla ve sférických souřadnicích podstatně jednodušší tvar.

Bod ve sférické soustavě souřadnic.

Transformace sférických souřadnic na kartézské:

$x=r\sin \theta \cos \phi$

$y=r\sin \theta \sin \phi$

$z=r\cos \theta$

Převod kartézských souřadnic na sférické:

$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},$

$\phi =\mathrm{arctg2}(y,x),$

$\theta =\arccos \left(\frac{z}{r}\right),$

kde arctg2(x,y) je zobecnění funkce arkus tangens. Úhly volíme v rozsahu $0\le \theta \le \pi$ a $0\le \phi <2\pi$.

Jakobián transformace z kartézské do sférické soustavy souřadnic :

$J=r^2\sin \theta$

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

$\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\phi }^2.$

Objem infinitesimálního elementu prostoru spočteme jako

$\mathrm{d}V=r^2\sin \theta \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta ,$

takže celkový objem spočteme integrací tohoto výrazu přes dané těleso vyjádřené ve sférických souřadnicích.

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Šablona:Wikiknihy