Diracovo delta

Schematická reprezentace Diracovy $\delta$-funkce.

Diracova funkce jako limita $\delta (x)=\underset{a\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{a\sqrt{\pi }}{e}^{-x^2/a^2}$

Diracovo delta nebo Diracova $\delta$-funkce se dá neformálně popsat jako funkce, která má v nule hodnotu nekonečno a všude jinde nulovou. Je značena řeckým písmenem delta. Její integrál přes celý prostor je roven jedné.

$\delta (x)=\{\begin{array}{cc}+\mathrm{\infty }& \text{pro }x=0\\ 0& \text{pro }x\ne 0\end{array}$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (x)\mathrm{d}x=1$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\delta (t)\mathrm{d}t=H(x)$ , kde H znamená Heavisideovu funkci

V souvislosti se zpracováním signálu bývá Diracova funkce označována také jako Diracův jednotkový impuls. (Jednotkový právě pro integrál rovný jedné)

V exaktním matematickém popisu není Diracova delta funkcí, ale distribucí. Diskrétním ekvivalentem Diracova delta je Kroneckerovo delta.

Vyjádření

Diracovu $\delta$-funkci lze vyjádřit různými způsoby. Pro komplexní čísla například ve tvaru integrálu.

$\delta (x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{ikx}\mathrm{d}k$

Nebo pomocí limit.

$\delta (x)=\underset{L\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sin xL}{x\pi }$

$\delta (x)=\underset{a\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\pi }\frac{a}{a^2+x^2}$

$\delta (x)=\underset{a\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{a\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-x^2/a^2}$

Vlastnosti

Označení posunuté („doprava“) delta funkce:

${\delta }_a(x)\equiv \delta (x-a)$

• Delta funkce je sudá funkce.

$\delta (x)=\delta (-x)$

• Působí jako jednotkový operátor při integraci.

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\delta (x-a)\mathrm{d}x=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x){\delta }_a(x)\mathrm{d}x=f(a)$

• Konvoluce libovolné funkce s delta funkcí je rovna této funkci.

$f(x)*\delta (x)=\delta (x)*f(x)=f(x)$

• Konvoluce s posunutou delta funkcí má za následek posunutí této funkce.

$f(x)*{\delta }_a(x)=f(x-a)$

• Fourierova transformace delta funkce je rovna jednotkové funkci.

$ℱ[\delta (x)]=D(\xi )=1$

• Z toho plyne, že zpětná Fourierova transformace jednotkové funkce je ve smyslu distribuce rovna delta funkci.

$\delta (x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{2\pi ix\xi }\mathrm{d}\xi$

• Pro Fourierovu transformaci posunuté delta funkce platí:

$ℱ[{\delta }_a(x)]=D_a(\xi )={\mathrm{e}}^{-2\pi ia\xi }$

• Je-li $f(x)$ funkce s kořeny $f(x_i)=0$, platí:

$\delta (f(x))=\sum _i\frac{\delta (x-x_i)}{|f^{\prime }(x_i)|}$

• Další vztahy:

$x\delta (x)=0$

$\delta (ax)=\frac{\delta (x)}{|a|}$

$f(x)\delta (x-a)=f(a)\delta (x-a)$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (a-x)\delta (x-b)\mathrm{d}x=\delta (a-b)$

$\delta (x^2-a^2)=\frac{\delta (x-a)+\delta (x+a)}{2|a|}$

Odkazy

Související články

• Kroneckerovo delta
• Diracova míra

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Šablona:MathWorld