Operátor

Šablona:Různé významy Operátor $\hat{A}$ je v matematice zobrazení, které každému prvku $f$ z prostoru $X$ (například funkci) přiřazuje prvek $g$ z jiného prostoru $Y$. Zápis:

$\hat{A}:X\to Y,f\mapsto \hat{A}f=g$,

kde $f\in X$, $g\in Y$.

Operátor se obvykle značí stříškou (toto značení je typické zejména pro kvantovou mechaniku), například $\hat{H}$, $\hat{p}$ apod.

Prvek $f\in X$ se nazývá vzor (nebo originál), zatímco prvek $g\in Y$ se označuje jako obraz. Množina prvků $f\in X$, pro něž je operátor $\hat{A}$ definován, se nazývá definiční obor operátoru a značí se $𝒟(\hat{A})$. Množina obrazů $g\in Y$ všech prvků z definičního oboru operátoru se nazývá obor hodnot operátoru. Obvykle se značí $ℛ(\hat{A})$.

Koncept operátoru se výrazně překrývá s pojmem zobrazení, avšak v matematice se termín „operátor“ zpravidla používá v kontextu prostorů funkcí (které jsou samy zobrazeními). Pro přehlednost a odlišení této vyšší úrovně zobrazování je vhodné používat specifický termín „operátor“.

V matematice a informatice se jako operátor rovněž označuje symbol matematické operace, například značka $+$ pro součet (viz Operátor (programování)).

Funkcionál

Pokud je $Y$ množina reálných, případně komplexních čísel (tedy obraz $g$ je reálné či komplexní číslo), pak se operátor $\hat{A}$ nazývá (reálný či komplexní) funkcionál. Příkladem funkcionálu je určitý integrál.

Základní druhy operátorů

Totožné operátory

Pokud pro dva operátory $\hat{A},\hat{B}$ z $X$ do $Y$ platí $\hat{A}f=\hat{B}f$ pro každé $f\in X$, pak jsou oba operátory totožné.

Operátor identity

Důležitým operátorem je operátor identity (jednotkový operátor) $\hat{I}$, pro který platí

$\hat{I}f=f$.

Působením operátoru identity $\hat{I}$ tedy nedochází k žádné změně.

Inverzní operátor

Operátor ${\hat{A}}^{-1}$ je inverzním operátorem k $\hat{A}$, pokud platí

$\hat{A}{\hat{A}}^{-1}={\hat{A}}^{-1}\hat{A}=\hat{I}$,

kde $\hat{I}$ představuje operátor identity. Inverzní operátor k danému operátoru nemusí existovat.

Platí vztah (mají-li obě strany smysl):

${(\hat{A}\hat{B})}^{-1}={\hat{B}}^{-1}{\hat{A}}^{-1}$.

Lineární operátor

Lineární operátor $\hat{A}:X\to Y$ je operátor mezi vektorovými prostory $X$ a $Y$, který splňuje vztah:

$\hat{A}\left(\sum _i{c}_i{f}_i\right)=\sum _i{c}_i(\hat{A}{f}_i),$

kde $f_i$ jsou libovolné prvky prostoru $X$ a $c_i$ jsou libovolné skalární koeficienty.

Linearitu operátoru $\hat{A}$ lze ověřit pomocí následujících dvou podmínek:

1. $\hat{A}(f_1+f_2)=\hat{A}(f_1)+\hat{A}(f_2)$ pro libovolné $f_1,f_2\in X$,
2. $\hat{A}(c{f}_1)=c\hat{A}(f_1)$ pro libovolné $c\in ℝ$ (nebo $ℂ$, pokud jde o komplexní prostory) a $f_1\in X$.

Příkladem lineárního operátoru je limita, která působí na funkce nebo posloupnosti. Dále mezi lineární operátory patří derivace, která je definována pomocí limity, a neurčitý integrál, jenž je inverzním operátorem k derivaci (až na konstantu).

Nelineárním operátorem je například operátor $\hat{A}=\sin$. Působením tohoto operátoru na libovolnou funkci $f$ vyjde $\hat{A}f=\sin f$.

Antilineární operátor

Operátor nazýváme antilineární, jestliže platí

$\hat{A}\sum _i{c}_i{f}_i=\sum _i{c}_i^{*}\hat{A}{f}_i$,

kde $f_i$ jsou libovolné funkce a $c_i^{*}$ jsou koeficienty komplexně sdružené k $c_i$.

Spojitý operátor

Šablona:Podrobně Operátor $\hat{A}:X\to Y$ mezi metrickými prostory $X,Y$ je spojitý v bodě $f_0\in X$, jestliže pro každou posloupnost prvků $\{f_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subset X$ splňující $f_n\to f_0$, platí také $\hat{A}{f}_n\to \hat{A}{f}_0$, tzn. $g_n\to g_0$ v prostoru $Y$.

Lineární operátor, který je spojitý v nějakém bodě $f_1\in X$, je spojitý v každém bodě $f\in X$.

Omezený operátor

Operátor $\hat{A}$ je omezený (ohraničený), pokud existuje $\mu >0$ takové, že pro každé $f\in X$ platí

${\Vert \hat{A}f\Vert }_Y\le \mu {\Vert f\Vert }_X$,

kde ${\Vert f\Vert }_X$ je norma prvku $f$ v prostoru $X$ a ${\Vert \hat{A}f\Vert }_Y$ je norma prvku $\hat{A}f$ v prostoru $Y$.

Lineární operátor je spojitý právě když je omezený. Součin omezených operátorů představuje opět omezený operátor. Podobně platí, že součet omezených operátorů je opět omezeným operátorem.

Infimum čísel $\mu$ operátoru $\hat{A}$ představuje normu operátoru $\Vert \hat{A}\Vert$, tzn.

$\Vert \hat{A}\Vert =\inf \mu$.

Normu lze také získat jako supremum množiny čísel ${\Vert \hat{A}f\Vert }_Y$ pro všechny jednotkové prvky $f\in X$, tzn.

$\Vert \hat{A}\Vert =\underset{{\Vert f\Vert }_X=1}{\sup }{\Vert \hat{A}f\Vert }_Y$.

Operátory na Hilberových prostorech

Operátory na Hilbertových prostorech jsou klíčové v kvantové mechanice. Dále budeme využívat Diracovu notaci pro zápis skalárního součinu $⟨\cdot |\cdot ⟩$ na těchto prostorech.

Sdružený operátor

Šablona:Podrobně Ke každému lineárnímu operátoru $\hat{A}$ existuje sdružený operátor ${\hat{A}}^{+}$, který splňuje vztah

$⟨f|{\hat{A}}^{+}g⟩=⟨\hat{A}f|g⟩.$

Platí vztahy:

$\Vert {\hat{A}}^{+}\Vert =\Vert \hat{A}\Vert$,

${({\hat{A}}^{+})}^{+}=\hat{A}$,

${(\hat{A}+\hat{B})}^{+}={\hat{A}}^{+}+{\hat{B}}^{+},$

${(\hat{A}\hat{B})}^{+}={\hat{B}}^{+}{\hat{A}}^{+},$

${(\lambda \hat{A})}^{+}={\lambda }^{*}{\hat{A}}^{+},$

navíc pokud existuje inverzní operátor, platí

$({\hat{A}}^{+}{)}^{-1}=({\hat{A}}^{-1}{)}^{+}$.

Symetrický operátor

Šablona:Podrobně Operátor $\hat{A}$ se označuje jako symetrický (někdy také hermitovský), jestliže platí

$⟨f|\hat{A}g⟩=⟨\hat{A}f|g⟩$

pro všechna $f$ a $g$ z definičního oboru $\hat{A}$.

Operátor $\hat{A}$ se označuje jako antihermitovský, je-li operátor $\mathrm{i}\hat{A}$ hermitovský.

Samosdružený operátor

Šablona:Podrobně Operátor  se nazývá samosdružený, jestliže platí

${\hat{A}}^{+}=\hat{A}$,

přičemž požadujeme i rovnost definičních oborů. Pro omezené operátory jsou pojmy samosdružený, hermitovský a symetrický ekvivalentní.

Samosdružený operátor $\hat{A}$ je pozitivní, když pro každé $|u⟩$ platí

$⟨u|\hat{A}|u⟩\ge 0$

Operátor se označuje jako normální, když platí

$[\hat{A},{\hat{A}}^{+}]=0$,

kde $[,]$ označuje komutátor.

Unitární operátor

Šablona:Podrobně Operátor $\hat{A}$ je unitární, pokud platí

${\hat{A}}^{+}={\hat{A}}^{-1}$.

Pro libovolný unitární operátor $\hat{A}$ platí

$⟨\hat{A}u|\hat{A}v⟩=⟨u|v⟩$.

Jestliže operátor $\hat{M}$ splňuje vztah

$⟨\hat{M}u|\hat{M}v⟩=⟨u|v⟩$,

pak operátor $\hat{M}$ označujeme jako izometrický. Izometrický operátor sice splňuje vztah ${\hat{M}}^{+}\hat{M}=\hat{I}$, avšak na rozdíl od operátoru unitárního může být $\hat{M}{\hat{M}}^{+}\ne \hat{I}$.

Projekční operátor

Šablona:Podrobně Omezený lineární operátor $\hat{E}$ se označuje jako projekční, splňuje-li podmínku

$\hat{E}={\hat{E}}^2$.

Pokud navíc $\hat{E}={\hat{E}}^{+}$, jde o ortogonální projekci.

Je-li $\hat{E}$ projekční operátor, pak je projekčním operátorem také

$\hat{E}\text{'}=\hat{I}-\hat{E}$,

kde $\hat{I}$ představuje operátor identity. Platí přitom vztahy

$\hat{E}+{\hat{E}}^{\prime }=\hat{I}$,

$\hat{E}{\hat{E}}^{\prime }=0$.

Je-li $|{\psi }_k⟩$ vektor normalizovaný k jednotce, pak projekční operátor do jednorozměrného podprostoru tvořeného všemi vektory lineárně závislými na $|{\psi }_k⟩$ lze vyjádřit jako

${\hat{E}}_k=|{\psi }_k⟩⟨{\psi }_k|$

Jestliže množina vektorů $\{|{\psi }_k⟩\}$ tvoří ortonormální bázi podprostoru $H_1$, pak projekční operátor do $H_1\subset H$ vyjádříme jako

$\sum _k{\hat{E}}_k=\sum _k|{\psi }_k⟩⟨{\psi }_k|$.

Pokud je $H_1=H$, pak je projekční operátor operátorem identity, takže

$\sum _k|{\psi }_k⟩⟨{\psi }_k|=\hat{I}$.

Tento vztah představuje tzv. relaci úplnosti (uzavřenosti).

Operace s operátory

Součtem dvou operátorů $\hat{A},\hat{B}$ vznikne operátor $\hat{C}=\hat{A}+\hat{B}$, pro který platí

$\hat{C}u=(\hat{A}+\hat{B})u=\hat{A}u+\hat{B}u$.

Operátor $\hat{C}$ označíme jako součin operátorů $\hat{A}$ a $\hat{B}$, tzn. $\hat{C}=\hat{A}\hat{B}$, pokud pro každé $u$ platí

$\hat{C}u=\hat{A}(\hat{B}u)$.

Pomocí předchozího vztahu lze definovat mocninu operátoru, například ${\hat{A}}^2=\hat{A}\hat{A}$.

Násobení operátorů není komutativní, tedy v obecném případě pro dva operátory $\hat{A}\hat{B}\ne \hat{B}\hat{A}$. Abychom vystihli vzájemnou nekomutativnost dvou operátorů $\hat{A},\hat{B}$, zavádíme tzv. komutátor operátorů

$[\hat{A},\hat{B}]={[\hat{A},\hat{B}]}_{-}=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$.

Dva komutativní operátory $\hat{A},\hat{B}$ splňují pro libovolné $u$ vztah

$[\hat{A},\hat{B}]=0$.

Jsou-li hermitovské operátory $\hat{A},\hat{B}$ komutativní, pak mají společné vlastní funkce.

Jestliže operátory $\hat{A},\hat{B}$ komutují, tedy $[\hat{A},\hat{B}]=0$, pak pro libovolné funkce $f$, $g$ platí

$[f(\hat{A}),g(\hat{B})]=0$.

Kromě komutátoru se zavádí také antikomutátor operátorů

$\{\hat{A},\hat{B}\}={[\hat{A},\hat{B}]}_{+}=\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}$.

Z definice komutátoru a antikomutátoru vzniknou následující vztahy:

$[\hat{A},\hat{B}]=-[\hat{B},\hat{A}]$,

$[\hat{A},\hat{B}+\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]+[\hat{A},\hat{C}]$,

$[\hat{A},\hat{B}\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]\hat{C}+\hat{B}[\hat{A},\hat{C}]=\{\hat{A},\hat{B}\}\hat{C}-\hat{B}\{\hat{A},\hat{C}\}$,

$[\hat{A}\hat{B},\hat{C}]=\hat{A}[\hat{B},\hat{C}]+[\hat{A},\hat{C}]\hat{B}=\hat{A}\{\hat{B},\hat{C}\}-\{\hat{A},\hat{C}\}\hat{B}$,

$\{\hat{A},\hat{B}\}=\{\hat{B},\hat{A}\}$

$\{\hat{A},\hat{B}+\hat{C}\}=\{\hat{A},\hat{B}\}+\{\hat{A},\hat{C}\}$,

$\{\hat{A},\hat{B}\hat{C}\}=\{\hat{A},\hat{B}\}\hat{C}-\hat{B}[\hat{A},\hat{C}]=\hat{B}\{\hat{C},\hat{A}\}-[\hat{B},\hat{A}]\hat{C}$,

$\{\hat{A}\hat{B},\hat{C}\}=\hat{A}\{\hat{B},\hat{C}\}-[\hat{A},\hat{C}]\hat{B}=\{\hat{C},\hat{A}\}\hat{B}-\hat{A}[\hat{C},\hat{B}]$.

Platí také Jacobiho identita

$[\hat{A},[\hat{B},\hat{C}]]+[\hat{B},[\hat{C},\hat{A}]]+[\hat{C},[\hat{A},\hat{B}]]=0$.

Použití

Operátory jsou nepostradatelné jak v diferenciálním počtu v matematice (například operátor nabla), tak při použití v kvantové mechanice a při zjednodušování zápisu identit (rovnic) jinde ve fyzice.

Související články

• Zobrazení
• Vlastní číslo
• Vektorový prostor
• Kvantová fyzika