Homogenní diferenciální rovnice

Termín „homogenní“ se v matematice používá v několika významech:

1. Homogenní funkce
2. Homogenní typ diferenciálních rovnic prvního řádu
3. Homogenní diferenciální rovnice (v protikladu k „nehomogenním“ diferenciálním rovnicím); jedná se o vlastnost určitých lineárních diferenciálních rovnic, která nesouvisí s výše uvedenými dvěma případy

Homogenní funkce

Šablona:Viz též Definice. Funkci  $f(x)$  nazýváme homogenní funkcí stupně n, jestliže znásobením proměnné konstantním parametrem  $\lambda$ dostaneme:

$f(\lambda x)={\lambda }^{n}f(x).$

Tuto definici můžeme zobecnit na funkce více proměnných; například funkce dvou proměnných $f(x,y)$ se nazývá homogenní stupně n, jestliže nahrazením obou proměnných  $x$  a  $y$  jejich násobkem  $\lambda x$  a  $\lambda y$,  dostaneme

$f(\lambda x,\lambda y)={\lambda }^{n}f(x,y).$

Příklad. Funkce  $f(x,y)=(2x^2-3y^2+4xy)$  je homogenní funkcí stupně 2 protože:

$f(\lambda x,\lambda y)=[2(\lambda x{)}^2-3(\lambda y{)}^2+4(\lambda x\lambda y)]=(2{\lambda }^2{x}^2-3{\lambda }^2{y}^2+4{\lambda }^{2}xy)={\lambda }^2(2x^2-3y^2+4xy)={\lambda }^{2}f(x,y).$

Tato definice homogenní funkce se používá pro klasifikaci určitého typu diferenciálních rovnic prvního řádu.

Homogenní typ diferenciálních rovnic prvního řádu

Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu ve tvaru:

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

je homogenního typu, jestliže obě funkce M(x, y) a N(x, y) jsou homogenní funkce stejného stupně n. To znamená, že vynásobením každé proměnná parametrem  $\lambda$ dostáváme:

$M(\lambda x,\lambda y)={\lambda }^{n}M(x,y)$     a     $N(\lambda x,\lambda y)={\lambda }^{n}N(x,y).$

odtud

$\frac{M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}.$

Metoda řešení

V podílu   $\frac{M(tx,ty)}{N(tx,ty)}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}$ můžeme položit   $t=1/x$.   Tím podíl zjednodušíme na nějakou funkci $f$ jedné proměnné $y/x$:

$\frac{M(x,y)}{N(x,y)}=\frac{M(tx,ty)}{N(tx,ty)}=\frac{M(1,y/x)}{N(1,y/x)}=f(y/x).$

Provedeme substituci $y=ux$ a výsledek zderivujeme pomocí součinového pravidla:

$\frac{\mathrm{d}(ux)}{\mathrm{d}x}=x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u,$

čímž převedeme původní diferenciální rovnici na tvar umožňující separaci proměnných:

$x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=f(u)-u;$

tento tvar můžeme přímo integrovat (viz obyčejná diferenciální rovnice).

Speciální případ

Diferenciální rovnici prvního řádu tvaru:

$(ax+by+c)\mathrm{d}x+(ex+fy+g)\mathrm{d}y=0,$

(kde a, b, c, e, f, g jsou konstanty) můžeme převést na homogenní tvar lineární transformací obou proměnných ($\alpha$ a $\beta$ jsou konstanty):

$t=x+\alpha ;z=y+\beta .$

Homogenní lineární diferenciální rovnice

Definice. Lineární diferenciální rovnice se nazývá homogenní, pokud splňuje následující podmínku: Je-li  $\varphi (x)$  řešením rovnice, pak je řešením i  $c\varphi (x)$, kde $c$ je libovolná (nenulová) konstanta. Aby tato podmínka byla splněna, každý term v lineární diferenciální rovnici se závislou proměnnou y musí obsahovat y nebo nějakou derivaci y; konstantní term homogenitu narušuje. Lineární diferenciální rovnice, která tuto podmínku nesplňuje, se nazývá nehomogenní.

Lineární diferenciální rovnice můžeme reprezentovat aplikací lineárního operátoru na y(x) kde x je nezávislá proměnná a y je závislá proměnná. Homogenní lineární diferenciální rovnice pak má následující tvar:

$L(y)=0$

${\displaystyle }$kde L je diferenciální operátor tj. součet derivací, z nichž každá je znásobena nějakou funkcí  $f_i$  proměnné x:

$L=\sum _{i=1}^n{f}_i(x)\frac{{\mathrm{d}}^i}{\mathrm{d}{x}^i};$

přitom  $f_i$  mohou být konstanty, ale všechny  $f_i$  se nesmí definitoricky rovnat nule.

Například následující diferenciální rovnice je homogenní

$\sin (x)\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+4\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y=0,$

zatímco následující dvě jsou nehomogenní:

$2x^2\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+4x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y=\cos (x);$

$2x^2\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}-3x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y=2.$

Související články

• Metoda separace proměnných

Reference

• Šablona:Citace monografie. (Dobrý úvod do diferenciálních rovnic.)
• Šablona:Citace monografie. (Klasické referenční příručka o obyčejných diferenciálních rovnicích, poprvé publikovaná v roce 1926.)

Externí odkazy

• Homogenní diferenciální rovnice v MathWorld
• Wikibooks: Obyčejné diferenciální rovnice/substituce 1