Podílové pravidlo

Podílové pravidlo v diferenciálním počtu je vzorec používaný pro derivaci podílu dvou funkcí. Může být zapsáno takto:

Jestliže derivujeme funkci $f(x)$, která je podílem dvou funkcí:

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

a $h(x)=0$, pak derivace $g(x)/h(x)$ je

$f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{[h(x){]}^2}.$

Důkaz

Důkaz pomocí implicitní derivace:

Z $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ plyne $g(x)=f(x)h(x)$

Podle součinového pravidla $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)h(x)+f(x)h^{\prime }(x)$

odtud dostaneme $f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)-f(x)h^{\prime }(x)}{h(x)}=\frac{g^{\prime }(x)\cdot \frac{h(x)}{h(x)}-\frac{g(x)}{h(x)}\cdot h^{\prime }(x)}{h(x)}$

tedy $f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{{(h(x))}^2}$

Důkaz pomocí řetízkového pravidla:

Vztah $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ přepíšeme použitím záporného mocnitele:

$f(x)=g(x)\cdot h(x{)}^{-1}$

Obě strany zderivujeme a na pravou stranu použijeme součinové pravidlo: $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\cdot h(x{)}^{-1}+g(x)\cdot (h(x{)}^{-1}{)}^{\prime }$

Pro výpočet derivace druhého členu použijeme řetízkové pravidlo, přičemž vnější funkce je $x^{-1}$ a vnitřní $h(x)$.

$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\cdot h(x{)}^{-1}+g(x)\cdot (-1)h(x{)}^{-2}{h}^{\prime }(x)$

Převedeme na společného dělitele: $f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)}{h(x)}-\frac{g(x)\cdot h^{\prime }(x)}{[h(x){]}^2}$

$f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)\cdot h(x)-h^{\prime }(x)\cdot g(x)}{[h(x){]}^2}$

Vzorce pro derivace vyšších řádů

Pro výpočet derivací vyšších řádů je mnohem snazší použít řetízkové pravidlo než implicitní derivaci. Výsledkem dvou implicitních derivací funkce $fh=g$ je $f^{″}h+2f^{\prime }{h}^{\prime }+f{h}^{″}=g^{″}$ a řešením pro $f^{″}$ je

$f^{″}=\frac{g^{″}-2f^{\prime }{h}^{\prime }-f{h}^{″}}{h}.$