Normální matice

V lineární algebře se čtvercová komplexní matice $𝑨\in {ℂ}^{n\times n}$ nazývá normální matice, pokud komutuje se svou hermitovsky sdruženou maticí, tj. pokud má vlastnost:

${𝑨}^{\mathrm{H}}𝑨=𝑨{𝑨}^{\mathrm{H}}$

Reálná matice $𝑩\in {ℝ}^{n\times n}$ je proto normální, právě když komutuje se svou transponovanou maticí:

${𝑩}^{\mathrm{T}}𝑩={𝑩𝑩}^{\mathrm{T}}$

Podle spektrální věty je matice normální, právě když je unitárně diagonalizovatelná (resp. pro reálné matice ortogonálně diagonalizovatelná).

Příklad

Reálná matice $𝑨=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ je normální, protože:

${𝑨}^{\mathrm{T}}𝑨=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=𝑨{𝑨}^{\mathrm{T}}$

Reálná matice $𝑩=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 4& 0\end{array}\right)$ není normální, protože:

${𝑩}^{\mathrm{T}}𝑩=\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 4& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}16& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 4& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ 1& 0\end{array}\right)=𝑩{𝑩}^{\mathrm{T}}$

Vlastnosti

Speciálními případy reálných normálních matic jsou symetrické, antisymetrické a ortogonální matice. V komplexním oboru mezi normální matice patří hermitovské, antihermitovské a unitární matice.

Spektrální věta

Matice $𝑨\in {ℂ}^{n\times n}$ normální, právě když existují unitární matice $𝑼$ a diagonální matice $𝑫$ takové, že $𝑨={𝑼𝑫𝑼}^{\mathrm{H}}$. Jinými slovy, normální matice jsou unitárně diagonalizovatelné, neboli mají Schurův rozklad s diagonální maticí. Sloupce $𝑼$ tvoří ortonormální bázi složenou z vlastních vektorů $𝑨$. Prvky na diagonále $𝑫$ jsou vlastní čísla $𝑨$.

Příklady

Vlastní čísla reálné matice $𝑨$ mohou být komplexní, a tím pádem i prvky matic $𝑼$ a $𝑫$, jak ilustruje příklad:

$𝑨=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)⟹𝑼=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ i& -i\end{array}\right),𝑫=\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right)$

Pouze pro speciální případ reálné symetrické matice $𝑨\in {ℝ}^{n\times n}$ jsou matice $𝑼$ i $𝑫$ také reálné.

Existují matice, které jsou diagonalizovatelné, ale nejsou normální. Tyto matice nelze unitárně diagonalizovat, neboli mají rozklad ${𝑹𝑫𝑹}^{-1}$, kde $𝑹$ je regulární ale nikoli unitární.

Ukázkou takové matice je

$𝑩={𝑹𝑫𝑹}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 4& 0\end{array}\right)$

Další vlastnosti

• Normální matice je unitární, právě když všechna její vlastní čísla (její spektrum) jsou komplexní jednotky.

• Normální matice je hermitovská, právě když má všechna vlastní čísla reálná.

• Součet ani součin dvou normálních matic nemusí být normální. Pro normální matice, jejichž součin komutuje, však platí následující:

Jsou-li $𝑨$ a $𝑩$ normální, přičemž $𝑨𝑩=𝑩𝑨$, pak jsou normální i matice $𝑨𝑩$ a $𝑨+𝑩$. Dále existuje unitární matice $𝑼$ taková, že ${𝑼𝑨𝑼}^{\mathrm{H}}$ a ${𝑼𝑩𝑼}^{\mathrm{H}}$ jsou diagonální matice. Jinými slovy, $𝑨$ a $𝑩$ jsou současně diagonalizovatelné.

V tomto speciálním případě jsou sloupce ${𝑼}^{\mathrm{H}}$ vlastními vektory $𝑨$ i $𝑩$ a tvoří ortonormální bázi v ${ℂ}^n$. Jde o kombinaci tvrzení, že nad algebraicky uzavřeným tělesem jsou komutující matice současně triangularizovatelné a že normální matice jsou diagonalizovatelné. Zde je navíc možné obojí provést současně.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace elektronické monografie

Související články

• Diagonalizovatelná matice
• Unitární matice
• Schurův rozklad