Diagonální matice

V lineární algebře je diagonální matice čtvercová matice, ve které jsou všechny prvky mimo hlavní diagonálu nulové. Diagonální matice jsou určeny výhradně prvky na hlavní diagonále a tyto prvky mohou být i nulové.

U diagonálních matic se součin a inverze počítá snadněji než u obecných matic. Je-li lineární zobrazení reprezentováno na vektorovém prostoru konečné dimenze pomocí diagonální matice, pak vlastní čísla zobrazení jsou prvky na diagonále.

V geometrii lze diagonální matici použít jako matici škálování, protože příslušný součin vede ke změně měřítka ve směru jednotlivých os. Součin s tzv. skalární maticí vede k rovnoměrné změně měřítka.

Definice

Čtvercová matice $𝑫$ řádu $n$ nad tělesem $T$ (obvykle jde o těleso reálných čísel $ℝ$ )

𝑫 = (\begin{matrix} d_{11} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & d_{22} & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & d_{n n} \end{matrix})

,

jejíž prvky $d_{i j} \in T$ s $i \neq j$ jsou všechny rovny nule, se nazývá diagonální matice. Často se zapisuje jako:

𝑫 = diag (d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n}) = (\begin{matrix} d_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & d_{2} & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & d_{n} \end{matrix})

.

Někdy se uvedený termín používá i pro obdélníkové matice, ale v tomto článku není toto zobecnění uvažováno.

Ukázky

Příkladem reálné diagonální matice řádu 3 je matice:

diag (1, 4, - 3) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{matrix})

Speciální diagonální matice

Jednotková matice je diagonální matice, ve které mají všechny prvky na hlavní diagonále hodnotu 1. Formálně: $𝐈_{n} = diag (1, 1, \dots, 1)$ .
Čtvercová nulová matice je diagonální matice, ve které mají všechny prvky na hlavní diagonále hodnotu 0. Formálně: $0 = diag (0, 0, \dots, 0)$ .
Pokud se všechna čísla na hlavní diagonále diagonální matice shodují, označují se také jako skalární matice.^[1] Skalární matice jsou skalární násobky jednotkové matice $α 𝐈_{n} = diag (α, α, \dots, α)$ . Množina nenulových skalárních matic je centrem obecné lineární grupy $G L_{n} (ℝ)$ .

Vlastnosti

Každá diagonální matice je symetrická, dolní trojúhelníková a horní trojúhelníková.

Příslušné diagonální matice tvoří komutativní podokruh okruhu čtvercových matic řádu $n$ .
Hodnost diagonální matice je rovna počtu nenulových prvků na diagonále.
Determinant diagonální matice je součin prvků na hlavní diagonále:
$\det (diag (d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n})) = d_{1} d_{2} \dots d_{n} = \prod_{i = 1}^{n} d_{i}$
Adjungovaná matice k diagonální matice je opět diagonální.
Diagonální matice jsou symetrické, a proto se nemění transpozicí: $𝑫^{T} = 𝑫$ .
Komplexní diagonální matice jsou normální. Pokud mají reálné prvky, jsou dokonce samoadjungované.

Aritmetické operace

Součet, skalární násobek a součin

Součet, skalární násobek a součin diagonálních matic jsou jednoduché operace:

Součet dvou diagonálních matic je diagonální a platí:

diag (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) + diag (b_{1}, b_{2} \dots, b_{n}) = diag (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2} \dots, a_{n} + b_{n}) = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{2} + b_{2} & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & a_{n} + b_{n} \end{matrix})

Podobně pro skalární násobek diagonální matice a pro součin dvou diagonálních matic:

α diag (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = diag (α a_{1} b_{1}, α a_{2}, \dots, α a_{n}) = (\begin{matrix} α a_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & α a_{2} & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & α a_{n} \end{matrix})

diag (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) \cdot diag (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}) = diag (a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, \dots, a_{n} b_{n}) = (\begin{matrix} a_{1} b_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{2} b_{2} & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & a_{n} b_{n} \end{matrix})

Součin matice $𝑨$ typu $m \times n$ zleva s diagonální maticí řádu $m$ odpovídá vynásobení řádků $𝑨$ příslušnými prvky na diagonále:

𝑫 𝑨 = diag (d_{1}, \dots, d_{m}) (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} d_{1} \\ ⋱ \\ d_{m} \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} d_{1} a_{11} & \dots & d_{1} a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ d_{m} a_{m 1} & \dots & d_{m} a_{m n} \end{matrix})

Součin matice $𝑨$ typu $m \times n$ zprava s diagonální maticí řádu $n$ zprava odpovídá násobení sloupců $𝑨$ prvky na diagonále:

𝑨 𝑫 = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) diag (d_{1}, \dots, d_{n}) = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) (\begin{matrix} d_{1} \\ ⋱ \\ d_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} d_{1} a_{11} & \dots & d_{n} a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ d_{1} a_{m 1} & \dots & d_{n} a_{m n} \end{matrix})

Regularita a inverzní matice

Diagonální matice je regulární právě když jsou všechny prvky na diagonále nenulové. Inverzní matice je pak dána předpisem:

diag (d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n})^{- 1} = diag (d_{1}^{- 1}, d_{2}^{- 1}, \dots, d_{n}^{- 1})

Pro pseudoinverzi jakékoli diagonální matice platí následující:

diag (d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n})^{+} = diag (d_{1}^{+}, d_{2}^{+}, \dots, d_{n}^{+})

kde $d_{i}^{+} = d_{i}^{- 1}$ pro $d_{i} \neq 0$ , a v ostatních případech $d_{i}^{+} = 0$ . Při známém singulárním rozkladu lze pseudoinverzní $𝑨^{+}$ velmi efektivně vypočítat ze vztahu: $𝑨^{+} = 𝑽 Σ^{+} 𝑼^{T}$ .

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla diagonální matice $diag (d_{1}, \dots, d_{n})$ jsou $d_{1}, \dots, d_{n}$ , přičemž příslušné vlastní vektory $𝒆_{1}, \dots, 𝒆_{n}$ tvoří standardní bázi prostoru $T^{n}$ .

Uvedený fakt vyplývá z výše uvedeného pravidla pro součin s diagonální maticí zleva, protože rovnice $𝑨 𝒙 = λ 𝒙$ pro určení vlastních čísel a vektorů se bezprostředně redukuje na vztah $𝑫 𝒆_{i} = d_{i} 𝒆_{i}$ .

Aplikace

Šablona:Podrobně Diagonální matice se vyskytují v mnoha oblastech lineární algebry. Vzhledem k výše uvedenému jednoduchému popisu maticových operací a vlastních čísel a vlastních vektorů je obvykle vhodné nalézt reprezentaci např. lineárního zobrazení pomocí diagonální matice.

Čtvercová matice $𝑨$ řádu $n$ se nazývá diagonalizovatelná, je-li podobná diagonální matici $𝑫_{𝑨}$ , čili pokud existuje regulární matice $𝑺$ taková, že platí: $𝑫_{𝑨} = 𝑺^{- 1} 𝑨 𝑺$ (ekvivalentně: ${𝑺 𝑫}_{𝑨} = 𝑨 𝑺$ ). Lze dokázat, že matice řádu $n$ je diagonalizovatelná, právě když má $n$ lineárně nezávislých vlastních vektorů.

V tělese reálných nebo komplexních čísel lze navíc dokázat, že každá normální matice je unitárně podobná diagonální matici (pokud ${𝑨 𝑨}^{*} = 𝑨^{*} 𝑨$ , pak existuje unitární matice $𝑼$ taková, že ${𝑼 𝑨 𝑼}^{*}$ je diagonální). Dále, ze singulárního rozkladu navíc vyplývá, že pro libovolnou matici $𝑨$ existují unitární matice $𝑼$ a $𝑽$ takové, že $𝑼^{*} 𝑨 𝑽$ je nezáporná diagonální matice.

Odkazy

Reference

Šablona:Překlad

↑ Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band 2: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990, ISBN 3-411-14101-8.

Literatura

Související články

Antidiagonální matice
Bloková diagonální matice
Pásmová matice

Šablona:Autoritní data

[1] Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band 2: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990, ISBN 3-411-14101-8.

[1]

Diagonální matice

Obsah

Definice

Ukázky

Speciální diagonální matice

Vlastnosti

Aritmetické operace

Součet, skalární násobek a součin

Regularita a inverzní matice

Vlastní čísla a vlastní vektory

Aplikace

Odkazy

Reference

Literatura

Související články

Navigační menu

Diagonální matice

Definice

Ukázky

Speciální diagonální matice

Vlastnosti

Aritmetické operace

Součet, skalární násobek a součin

Regularita a inverzní matice

Vlastní čísla a vlastní vektory

Aplikace

Odkazy

Reference

Literatura

Související články

Navigační menu

Hledat