Singulární rozklad

Schéma singulárního rozkladu

Singulární rozklad (zkratkou SVD podle anglického názvu Singular Value Decomposition) matice je rozklad komplexní nebo reálné matice $𝐌$ na maticový součin $𝐔\mathrm{\Sigma }{𝐕}^{\mathbf{*}}$. Přitom $𝐔$ je reálná nebo komplexní unitární matice o rozměrech $m\times m$, $𝐕$ je reálná nebo komplexní unitární matice $n\times n$ a $\mathrm{\Sigma }$ je matice $m\times n$ nulová až na případná nezáporná čísla na hlavní diagonále; čísla na její hlavní diagonále se označují jako singulární hodnoty matice $𝐌$. Hvězdička označuje konjugovanou matici, tedy transponovanou matici komplexně sdružených prvků. Požadujeme-li, jak je obvyklé, aby singulární hodnoty byly seřazeny sestupně, je matice $\mathrm{\Sigma }$ určena jednoznačně, naopak matice $𝐔$ a $𝐕$ jednoznačné být nemusejí. Singulární rozklad vždy existuje a používá se k řadě teoretických i praktických účelů. Lze ho chápat také jako zobecnění Schurova rozkladu na matice obecného tvaru. Nevýhodou je, že výpočetní náročnost konstrukce singulárního rozkladu roste se třetí mocninou rozměru matic. O vypracování teorie singulárních hodnot se zasloužili matematici Eugenio Beltrami (1873), Camille Jordan (1874), James Joseph Sylvester (1889), Erhard Schmidt (1907), Émile Picard (1910) a Eckart a Young (1936). První algoritmus SVD rozkladu publikovali Gene H. Golub a William Kahan (1965), jeho vylepšenou a dodnes často používanou variantu uveřejnili Golub a Christian Reinsch (1970).

Geometricky existence singulárního rozkladu znamená, že každý lineární operátor mezi reálnými vektorovými prostory konečných dimenzí lze rozložit na rotaci vzorů (matice ${𝐕}^{\mathbf{*}}$), vynásobení (části) rotovaných vektorů nezápornými koeficienty (singulárními hodnotami) a opětnou rotaci (případně rotaci kombinovanou se zrcadlením) v prostoru obrazů (matice $𝐔$). Anebo můžeme matice $𝐔$ a $𝐕$ interpretovat jako matice přechodu mezi bázemi a říci, že pro každý lineární operátor mezi reálnými konečněrozměrnými vektorovými prostory lze najít dvojici ortonormálních bází (v prostoru vzorů a v prostoru obrazů) tak, že daný operátor se v těchto bázích zapíše jako matice s nezápornými čísly na hlavní diagonále a nulami všude jinde, tj. i-tou složku vzoru v první bázi násobí i-tou singulární hodnotou, čímž získá i-tou složku zápisu obrazu ve druhé bázi.

Odkazy

Související články

• Polární rozklad
• Analýza hlavních komponent

Externí odkazy

• Přednáška Petra Tichého o SVD
• Jiří Rohn: Lineární algebra a optimalizace (SVD na s. 108-122)
• Krátký vzdělávací film o singulárním rozkladu od Cleva Molera, autora Matlabu