Polární rozklad

Polární rozklad je rozklad reálné (respektive komplexní) čtvercové matice na součin symetrické (respektive hermitovské) pozitivně semidefinitní matice a matice ortogonální (respektive unitární).

Reálný případ

Uvažujme $A\in {ℝ}^{n\times n}$ a její singulární rozklad

$A=U\mathrm{\Sigma }{V}^T,U^{-1}=U^T,V^{-1}=V^T,\mathrm{\Sigma }=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n),$

kde matice $U$ a $V$ jsou ortogonální a matice $\mathrm{\Sigma }$ je diagonální s nezápornými čísly na diagonále tak, že platí

${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge {\sigma }_3\ge \dots \ge {\sigma }_n\ge 0.$

Vložením šikovně rozepsané jednotkové matice, $I=U^{T}U=V^{T}V$, na vhodné místo do singulárního rozkladu, získáme hledaný polární rozklad. Možnosti jsou dvě, buď

$A=(U\mathrm{\Sigma }{U}^T)(U{V}^T)=M_{U}Q,$

kde

$M_U=U\mathrm{\Sigma }{U}^T$

je symetrická pozitivně semidefinitní (je-li ${\sigma }_n>0$, tj. je-li $A$ regulární, pak je symetrická pozitivně definitní) a

$Q=U{V}^T$

je ortogonální. Případně

$A=(U{V}^T)(V\mathrm{\Sigma }{V}^T)=Q{M}_V,$

kde

$M_V=V\mathrm{\Sigma }{V}^T$

je opět symetrická pozitivně (semi)definitní.

Komplexní případ

Zcela analogicky uvažujme $A\in {ℂ}^{n\times n}$ a její singulární rozklad

$A=U\mathrm{\Sigma }{V}^H,U^{-1}=U^H,V^{-1}=V^H,\mathrm{\Sigma }=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n),$

kde matice $U$ a $V$ jsou unitární a matice $\mathrm{\Sigma }$ je diagonální s nezápornými čísly na diagonále tak, že platí

${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge {\sigma }_3\ge \dots \ge {\sigma }_n\ge 0.$

Polární rozklad lze opět vyjádřit dvěma způsoby, buď

$A=(U\mathrm{\Sigma }{U}^H)(U{V}^H)=M_{U}Q,$

kde

$M_U=U\mathrm{\Sigma }{U}^H$

je hermitovská pozitivně semidefinitní (je-li ${\sigma }_n>0$, tj. je-li $A$ regulární, pak je hermitovská pozitivně definitní) a

$Q=U{V}^H$

je unitární. Případně

$A=(U{V}^H)(V\mathrm{\Sigma }{V}^H)=Q{M}_V,$

kde

$M_V=V\mathrm{\Sigma }{V}^H$

je opět hermitovská pozitivně (semi)definitní.

Rozšíření na obdélníkový případ

Je-li matice obdélníková, $A\in {ℝ}^{m\times n}$ (${ℂ}^{m\times n}$) a $m<n$, matice má tedy více sloupců než řádků, lze ji, zcela analogickým postupem jako v předchozích případech zapsat jako součin

$A=M_{U}Q$

kde $M_U$ je symetrická (hermitovská) pozitivně (semi)definitní a matice $Q$ má ortonormální řádky.

Pokud je $m>n$, tedy matice má více sloupců než řádků, lze ji zapsat jako součin

$A=Q{M}_V$

kde $M_V$ je symetrická (hermitovská) pozitivně (semi)definitní a matice $Q$ má ortonormální sloupce.

Matice $M_U$, respektive $M_V$ je regulární, pokud má matice $A$ má lineárně nezávislé řádky, respektive sloupce.

Maticové identity

Následující vztahy uvádíme pouze pro komplexní případ, reálný případ je zcela analogický.

Obecně, je-li matice $A$ čtvercová, nebo obdélníková s více sloupci než řádky, platí

$M_U=\sqrt{A{A}^H}=\sqrt{(M_{U}Q)(M_{U}Q{)}^H}=\sqrt{(M_{U}Q)(Q^H{M}_U^H)}=\sqrt{M_U{M}_U}=\sqrt{M_U^2}.$

Je-li matice čtvercová, nebo obdélníková s více řádky než sloupci, platí

$M_V=\sqrt{A^{H}A}=\sqrt{(Q{M}_V{)}^H(Q{M}_V)}=\sqrt{(M_V^H{Q}^H)(Q{M}_V)}=\sqrt{M_V{M}_V}=\sqrt{M_V^2}.$

Viz definici odmocniny z matice.

Rozklady

$M_U=U\mathrm{\Sigma }{U}^H\text{a}{M}_V=V\mathrm{\Sigma }{V}^H$

představují zároveň Schurovy i Jordanovy rozklady matic $M_U$ a $M_V$.

Singulární čísla ${\sigma }_j$, $j=1,\dots ,\min \{m,n\}$ matice $A$ tedy představují vlastní čísla matic $M_U$ a $M_V$.

Aplikace

Polární rozklad (reálné čtvercové regulární matice) nachází uplatnění zejména v klasické mechanice, kde slouží, v maticovém popisu, k oddělení deformace tělesa (reprezentované symetrickou pozitivně definitní maticí) od pohybu tuhého tělesa, přesněji změny souřadného systému (reprezentované ortogonální maticí).

Související články

• Singulární rozklad
• Maticová funkce
• Schurův rozklad
• Jordanův rozklad

Literatura

• J. Duintjer Tebbens, I. Hnětynková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty, základní metody. Matfyzpress 2012. Šablona:ISBN. (Kapitola 5.8, Polární rozklad a exponenciální tvar čtvercové matice, str. 142-143)
• M. Fiedler: Speciální matice a jejich užití v numerické matematice. SNTL, Státní nakladatelství technické literatury, edice TKI, Teoretická knižnice inženýra, 1981. (Věta 2.29, str. 63)

Šablona:Pahýl Šablona:Autoritní data