Hermitovská transpozice

Matice hermitovsky sdružená ke komplexní matici $𝑨$ typu $m\times n$ je matice typu $n\times m$ získaná transpozicí $𝑨$ a záměnou každého z čísel za komplexně sdružené číslo. Značí se ${𝑨}^{𝖧}$, ${𝑨}^{*}$ nebo ${𝑨}^{\prime }$, a ve fyzice často ${𝑨}^{†}$. Nazývá se také hermitovská transpozice nebo komplexně sdružená transpozice.

Hermitovská transpozice reálných matice se shoduje s běžnou transpozicí ${𝑨}^{𝖧}={𝑨}^{𝖳}$.

Definice

Hermitovská transpozice matice $𝑨$ typu $m\times n$ je formálně definována $({𝑨}^{𝖧}{)}_{ij}=\overline{a_{ji}}$ pro $1\le i\le n$ a $1\le j\le m$, kde pruh značí komplexně sdružené číslo.

Tuto definici lze také napsat jako ${𝑨}^{𝖧}=\stackrel{𝖳}{\stackrel{‾}{𝑨}}=\overline{{𝑨}^{𝖳}}$, kde ${𝑨}^{𝖳}$ označuje transpozici a $\overline{𝑨}$ označuje matici s komplexně sdruženými prvky.

Hermitovská transpozice matice $𝑨$ může být značena některým z těchto symbolů:

• ${𝑨}^{𝖧}$, běžně používaný v lineární algebře
• ${𝑨}^{*}$, běžně používaný v lineární algebře
• ${𝑨}^{†}$, běžně používané v kvantové mechanice
• ${𝑨}^{+}$, ačkoli tento symbol se běžněji používá pro Mooreovu–Penroseovu pseudoinverzi

Někdy ${𝑨}^{*}$ označuje matici pouze s komplexními sdruženými prvky a bez transpozice.

Ukázka

Hermitovskou transpozice následující matice $𝑨$ lze získat ve dvou krocích.

$𝑨=\left(\begin{array}{ccc}1& -2-i& 5\\ 1+i& i& 4-2i\end{array}\right)$

Nejprve je matice transponována:

${𝑨}^{𝖳}=\left(\begin{array}{cc}1& 1+i\\ -2-i& i\\ 5& 4-2i\end{array}\right)$,

a potom je každý její prvek zaměněn za své komplexně sdružené číslo:

${𝑨}^{𝖧}=\left(\begin{array}{cc}1& 1-i\\ -2+i& -i\\ 5& 4+2i\end{array}\right)$.

Poznámky

Čtvercová matice $𝑨$ se nazývá

• Hermitovská nebo samosdružená pokud $𝑨={𝑨}^{𝖧}$.
• Normální, pokud ${𝑨}^{𝖧}𝑨=𝑨{𝑨}^{𝖧}$.
• Unitární pokud ${𝑨}^{𝖧}={𝑨}^{-1}$, ekvivalentně $𝑨{𝑨}^{𝖧}={𝑨}^{𝖧}𝑨=𝐈$.

I když $𝑨$ není čtvercová, obě matice ${𝑨}^{𝖧}𝑨$ a $𝑨{𝑨}^{𝖧}$ jsou jak hermitovské, tak ve skutečnosti pozitivně semi-definitní.

Hermitovsky "sdružená" transpozice ${𝑨}^{𝖧}$ se v komplexní analýze někdy nazývá adjungovaná matice, ale ta by neměla být zaměňována s adjungovanou maticí $\mathrm{adj}(𝑨)$ z lineární algebry.

Hermitovská transpozice matice $𝑨$ se reálnými prvky redukuje na transpozici $𝑨$, protože komplexně sdruženým číslem k reálnému číslu je číslo samotné.

Motivace

Zavedení hermitovské transpozice může být motivováno tím, že komplexní čísla mohou být reprezentována reálnými maticemi typu $2\times 2$, s obvyklým sčítáním a násobením matic:

$a+\mathrm{i}b\equiv \left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right).$

Uvedené nahrazení libovolného komplexního čísla $z$ reálnou maticí řádu 2 je lineární transformace na Argandově diagramu (nahlíženo jako na reálný vektorový prostor ${ℝ}^2$ ), ovlivněné komplexním $z$ - násobením na $ℂ$ .

Každou komplexní matici typu $m\times n$ pak lze reprezentovat reálnou maticí $2m\times 2n$. Obyčejná transpozice této větší reálné matice odpovídá hermitovské transpozici původní komplexní matice.

Vlastnosti hermitovské transpozice

Rovnosti uvedené v následujících odstavcích platí, pokud mají výsledky operací smysl.

• $(𝑨+𝑩{)}^{𝖧}={𝑨}^{𝖧}+{𝑩}^{𝖧}$.
• $(z𝑨{)}^{𝖧}=\bar{z}{𝑨}^{𝖧}$ pro libovolné komplexní číslo $z$.
• $(𝑨𝑩{)}^{𝖧}={𝑩}^{𝖧}{𝑨}^{𝖧}$.
• $({𝑨}^{𝖧}{)}^{𝖧}=𝑨$ , tj. Hermitovská transpozice je involucí.
• Je-li $𝑨$ čtvercová matice, pak $\det \left({𝑨}^{𝖧}\right)=\overline{\det 𝑨}$, kde $\det 𝑨$ označuje determinant matice $𝑨$ .
• Je-li $𝑨$ čtvercová matice, pak $\mathrm{tr}\left({𝑨}^{𝖧}\right)=\overline{\mathrm{tr}𝑨}$, kde $\mathrm{tr}𝑨$ označuje stopu matice $𝑨$ .
• $𝑨$ je regulární právě když ${𝑨}^{𝖧}$ je regulární a v tom případě $({𝑨}^{𝖧}{)}^{-1}=({𝑨}^{-1}{)}^{\mathrm{H}}$ .
• Vlastní čísla ${𝑨}^{𝖧}$ jsou komplexně sdružená k vlastním číslům $𝑨$ .
• ${⟨𝑨x,y⟩}_m={⟨x,{𝑨}^{𝖧}y⟩}_n$ pro jakoukoli matici $𝑨$ typu $m\times n$, libovolný vektor $x\in {ℂ}^n$ a libovolný vektor $y\in {ℂ}^m$ . Zde, $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_m$ označuje standardní skalární součin na ${ℂ}^m$, a podobně pro $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_n$ .

Zobecnění

Poslední vlastnost uvedená výše ukazuje, že pokud pohlížíme na $𝑨$ jako na lineární transformaci z Hilbertova prostoru ${ℂ}^n$ na ${ℂ}^m,$ pak matice ${𝑨}^{𝖧}$ odpovídá sdruženému operátoru k $𝑨$ . Koncept sdružených operátorů mezi Hilbertovými prostory tak může být chápán jako zobecnění hermitovské transpozice matic vzhledem k ortonormální bázi.

Existuje další zobecnění: předpokládejme, že $A$ je lineární zobrazení z komplexního vektorového prostoru $V$ do $W$, pak lze definovat komplexně sdružené lineární zobrazení i transponované lineární zobrazení a můžeme tedy mít hermitovskou transpozici $A$ jako komplexní sdružení transpozice $A$ . Toto zobrazuje sdružený duál $W$ na sdružený duál $V$ .

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace elektronické monografie
• Šablona:Citace elektronické monografie

Související články

• Skalární součin
• Sdružený operátor
• Adjungovaná matice