Sdružený operátor

Sdružený operátor nebo též adjungovaný operátor je významný pojem ve funkcionální analýze.

Definice

Jsou-li $\mathscr{H}$ a $𝒦$ Hilbertovy prostory, pak k lineárnímu operátoru $T:\mathscr{H}\to 𝒦$ sdruženým operátorem $T^{\ast }:𝒦\to \mathscr{H}$, nazveme takový operátor, který splňuje: $⟨Tx,y⟩=⟨x,T^{\ast }y⟩\mathrm{\forall }x\in \mathscr{H},y\in 𝒦.$

Rieszova věta zaručuje existenci a jednoznačnost sdruženého operátoru.

Často se pro sdružený operátor též používá značení $A^{†}$, ve fyzice někdy $A^{+}$.

Vlastnosti

Základní vlastnosti

• $T^{\ast \ast }=T$
• $(S+T{)}^{\ast }=S^{\ast }+T^{\ast }$
• $(ST{)}^{\ast }=T^{\ast }{S}^{\ast }$
• $(\lambda T{)}^{\ast }=\bar{\lambda }{T}^{\ast }$
• Je-li $T$ invertibilní, tak: $(T^{\ast }{)}^{-1}=(T^{-1}{)}^{\ast }$
• V prostoru konečné dimenze sdruženému operátoru odpovídá komplexně sdružená transponovaná matice, tzv. hermiteovsky sdružená neboli adjungovaná matice.

Vlastnosti normy operátoru

Máme-li běžnou operátorovu normu

$\Vert T\Vert =\underset{\Vert x\Vert \le 1}{\sup }\Vert Tx\Vert$

Tak platí:

$\Vert T\Vert =\Vert T^{\ast }\Vert$

A navíc:

$\Vert T^{\ast }T\Vert =\Vert T{\Vert }^2$

Vztah jádra a obrazu

Jádro sdruženého operátoru je ortogonální na obraz původního operátoru, tj.:

$\mathrm{Ker}{T}^{\ast }=(\mathrm{Im}T{)}^{\mathrm{\perp }}$

$(\mathrm{Ker}{T}^{\ast }{)}^{\mathrm{\perp }}=\overline{\mathrm{Im}T}$

Prvá rovnost platí protože:

$\begin{array}{cc}{T}^{\ast }x=0& ⟺⟨T^{\ast }x,y⟩=0\mathrm{\forall }y\in \mathscr{H}\\ & ⟺⟨x,Ty⟩=0\mathrm{\forall }y\in \mathscr{H}\\ & ⟺x\mathrm{\perp }\mathrm{Im}T\end{array}$

Druhá rovnost vznikne jednoduše z první vzetím ortogonálního doplňku obou stran.

Šablona:Autoritní data Šablona:Portály