Centrum grupy

Šablona:Upravit Centrum grupy je pojem užívaný v abstraktní algebře. Jde o podgrupu, jejíž každý člen komutuje s libovolným členem grupy. To odpovídá prvkům grupy, které mají v působení na sobě pomocí vnitřních automorfismů jednoprvkovou orbitu.

Definice

Centrem grupy $𝒢=(G,\odot {,}^{-1},e)$ myslíme množinu $\{h\in G|\mathrm{\forall }g\in G:g\odot h=h\odot g\}.$ Tedy množinu všech prvků z $G$, které s každým prvkem z $G$ vyhovují komutativnímu zákonu. Ve zbytku článku jej budeme značit $Z(G)$.

Lemma

Nechť $𝒢=(G,\odot {,}^{-1},e)$ je grupa. Pak $Z(G)⊴G$ (centrum grupy G je její normální podgrupa).

Důkaz

Rozmyslete si, že $Z(G)$ je uzavřené na $\odot$ (tj. pokud $h,g\in Z(G)$, pak i $h\odot g\in Z(G)$) a $e\in Z(G)$ (připomeňme, že prvek $e$ jednotkový prvek grupy $G$, pokud $\mathrm{\forall }g\in G:g\odot e=e\odot g=g$).

Pokud je $g\in Z(G)$, pak $g^{-1}\odot h=(h^{-1}\odot g{)}^{-1}=(g\odot h^{-1}{)}^{-1}=h\odot g^{-1}$. Tím jsme ukázali, že $g^{-1}\in Z(G)$.

Zatím jsme dokázali, že $Z(G)$ je grupa, víme, že se skládá jen z prvků $G$, takže je to podgrupa $G.$ Pro dokončení důkazu ještě potřebujeme, aby byla normální.

Vezměme si libovolné $g\in Z(G)$ a jakékoli $h\in G.$ Pak $h\odot g\odot h^{-1}=h\odot h^{-1}\odot g=e\odot g=g$. Tedy $h\odot g\odot h^{-1}\in Z(G)$ a proto je $Z(G)$ normální podgrupa $G.$

Poznámka

Nosič $G$ každé grupy $𝒢=(G,\odot {,}^{-1},e)$ může být zapsán takto: $G=Z(G){\cup }^{disj.}\bigcup _{h\in I}^{disj.}{O}_h$, kde $O_h$ je orbita prvku $h\in G$ vzhledem k vnitřnímu automorfismu a $I$ je množina representantů alespoň dvouprvkových orbit grupy $G$.

Důsledek

Je-li $𝒢=(G,\odot {,}^{-1},e)$ konečná grupa, pak $|G|=|Z(G)|+\sum _{h\in I}[G:C_h]$, kde $I$ je množina representantů alespoň dvouprvkových orbit grupy $G$ a $[G:C_h]$ je index stabilisátoru prvku $h$.

Další Důsledek

Nechť $𝒢=(G,\odot {,}^{-1},e)$ je grupa řádu $|G|=p^n$, kde $p$ je prvočíslo a $0<n\in \mathbb{N}$. Pak $|Z(G)|>1$.

Věta

Ať $𝒢$ je grupa řádu $p^2$, kde $p$ je prvočíslo. Pak $𝒢$ je komutativní a buď $𝒢\backsimeq {\mathbb{Z}}_{p^2}$ nebo $𝒢\backsimeq {\mathbb{Z}}_p\times {\mathbb{Z}}_p$

Důkaz

Využívá pojmu centrum grupy a proto sem byla tato věta zařazena (jako pozvánka ke studiu algebry). Jinak je delší a zvídavý čtenář si jej může vyhledat v literatuře uvedené na konci článku.

Související články

• Normální podgrupa
• Akce grupy na množině
• Orbita
• Grupa

Literatura

L.Procházka a kolektiv: Algebra, Academia, Praha 1990

Externí odkazy

Skripta prof.Trlifaje z MFF UK (formát pdf) Šablona:Autoritní data