Vnitřní automorfismus
Vnitřní automorfismus je v abstraktní algebře automorfismus grupy, okruhu nebo algebry daný konjugací pevným prvek, zvaným konjugující prvek. Tyto vnitřní automorfismy tvoří podgrupu grupy automorfismů. Dále podíl grupy automorfismů s touto podgrupou dává vzniknout konceptu grupy vnějších automorfismů.
Definice
Je-li Šablona:Var grupa (nebo okruh) a Šablona:Var je prvek Šablona:Var (jestliže je Šablona:Var okruh, pak Šablona:Var musí být jednotka), pak se funkce
nazývá (pravá) konjugace podle Šablona:Var (viz konjugační třída). Tato funkce je homomorfismus Šablona:Var: pro všechny platí:
kde druhá rovnost je dána vložením identity mezi a Dále má toto zobrazení levou i pravou inverzi, totiž Tím pádem je bijekcí, a tedy i izomorfismem z Šablona:Var na sebe sama, tj. automorfismem. Vnitřní automorfismus je jakýkoliv automorfismus, který vzniká z konjugace. [1]
V případě pravé konjugace se výraz často značí pomocí mocniny: Tento zápis se používá, protože složení konjugací je asociativní: pro všechna To ukazuje, že konjugace určuje pravé působení Šablona:Var na sebe samotné.
Vnitřní a vnější grupy automorfismů
Složení dvou vnitřních automorfismů je opět vnitřním automorfismem a pod touto operací tvoří soubor všech vnitřních automorfismů grupy Šablona:Mvar grupu vnitřních automorfismů Šablona:Mvar, značenou Šablona:Math.
Šablona:Math je normální podgrupa celé grupy automorfismů Šablona:Math. Grupa vnějších automorfismů, Šablona:Math, je podílová grupa
Grupa vnějších automorfismů v určitém smyslu měří, kolik automorfismů Šablona:Mvar není vnitřních. Každý nevnitřní automorfismus dává vzniknout netriviálnímu prvku Šablona:Math, ale různé nevnitřní automorfismy mohou dát stejný prvek Šablona:Math.
Tvrzení, že konjugace Šablona:Mvar podle Šablona:Mvar ponechá Šablona:Mvar nezměněno, je ekvivalentní k tvrzení, že Šablona:Mvar a Šablona:Mvar komutují:
Existence a počet vnitřních automorfismů, které nejsou identitou, je tedy v určitém smyslu měrou selhání komutativního zákona v dané grupě (nebo okruhu).
Automorfismus grupy Šablona:Mvar je vnitřní, právě když jej lze rozšířit na každou grupu obsahující Šablona:Mvar. [2]
Propojením prvku Šablona:Math s vnitřním automorfismem Šablona:Math v Šablona:Math, jak je uvedeno výše, se získá izomorfismus mezi podílovou grupou Šablona:Math (kde Šablona:Math je centrum Šablona:Mvar) a grupou vnitřních automorfismů:
To je důsledek první věty o izomorfismu, neboť Šablona:Math je souborem právě těch prvků Šablona:Mvar, které jako odpovídající vnitřní automorfismus udávají identické zobrazení (konjugace nemá vliv).
Nevnitřní automorfismy konečných Šablona:Mvar-grup
Výsledek jedné práce Wolfganga Gaschütze říká, že pokud je Šablona:Mvar konečná neabelovská [[P-grupa|Šablona:Mvar-grupa]], pak má Šablona:Mvar automorfismus řádu Šablona:Mvar, který není vnitřní.
Zda má každá neabelovská Šablona:Mvar-grupa Šablona:Mvar automorfismus řádu Šablona:Mvar, je otevřený problém. Tato otázka má kladnou odpověď, pokud má Šablona:Mvar jednu z následujících vlastností:
- Šablona:Mvar je nilpotentní grupa třídy 2
- Šablona:Mvar je regulární Šablona:Mvar-grupa
- Šablona:Math je mocná Šablona:Mvar-grupa
- centralizátor Šablona:Mvar centra Šablona:Mvar Frattiniho podgrupy Šablona:Math v Šablona:Mvar, tj. Šablona:Math, není roven Šablona:Math
Typy grup
Grupa vnitřních automorfismů grupy Šablona:Mvar, Šablona:Math, je triviální (tj. sestává pouze z neutrálního prvku), právě když je Šablona:Mvar abelovská.
Grupa Šablona:Math je cyklická, jen pokud je triviální.
Na opačném konci spektra mohou vnitřní automorfismy pokrýt celou grupu automorfismů; grupa, jejíž automorfismy jsou všechny vnitřní a jejíž centrum je triviální, se nazývá úplná. To je případ všech symetrických grup o Šablona:Mvar prvcích, když Šablona:Mvar není 2 nebo 6; když Šablona:Math, má symetrická grupa jedinečnou netriviální třídu vnějších automorfismů, a když Šablona:Math, je symetrická grupa, přestože nemá žádný netriviální vnější automorfismus, abelovská, díky čemuž má netriviální centrum, a to ji odpírá úplnost.
Je-li grupa vnitřních automorfismů perfektní grupy Šablona:Mvar jednoduchá, pak se Šablona:Mvar nazývá skorojednoduchá.
Lieovy algebry
Automorfismus Lieovy algebry Šablona:Math je nazýván vnitřním automorfismem, jestliže je tvaru Šablona:Math, kde Šablona:Math je adjungované zobrazení a Šablona:Mvar je prvek Lieovy grupy, jejíž Lieova algebra je Šablona:Math. Pojem vnitřního automorfismu je pro Lieovy algebry kompatibilní s tím grupovým v tom smyslu, že vnitřní automorfismus Lieovy grupy udává jedinečný vnitřní automorfismus odpovídající Lieovy algebry.
Rozšíření
Jestliže je Šablona:Mvar grupa jednotek okruhu Šablona:Mvar, pak může být vnitřní automorfismus nad Šablona:Mvar rozšířen na zobrazení nad [[Projektivní přímka nad okruhem|projektivní přímkou nad Šablona:Mvar]] grupou jednotek maticového okruhu Šablona:Math. Tímto způsobem lze rozšířit zejména vnitřní automorfismy klasických grup.