Akce grupy na množině

Akce grupy na množině je jisté zobrazení mezi množinou a grupou (definované níže) s odpovídajícími vlastnostmi. Má spojitost např. se studiem automorfismů či charakteristických podgrup.

Definice

Nechť $G$ je grupa a $A$ neprázdná množina. Zobrazení $\cdot : G \times A \to A$ nazveme akcí grupy $G$ na množině $A$ (také působením $G$ na $A$ ) jestliže:

$g_{1} \cdot (g_{2} \cdot a) = (g_{1} g_{2}) \cdot a$ pro všechna $g_{1}, g_{2} \in G, a \in A$
$1 \cdot a = a$ pro všechna $a \in A$ (kde $1$ je neutrální prvek $G$ )

Jinak řečeno prvek $g_{1} \in G$ působí na $g_{2} \cdot a \in A$ stejně, jako působí $g_{1} g_{2} \in G$ na $a \in A$ .

Reprezentace permutacemi

Nechť $G$ působí na $A$ a pro pevně zvolené $g \in G$ označme $σ_{g}$ zobrazení $σ_{g} : A \to A$ dané předpisem $a \mapsto g \cdot a$ . Pak platí:

pro libovolné $g \in G$ je $σ_{g}$ permutace na množině $A$ ,
zobrazení $ϕ : G \to 𝕊_{A}$ dané vztahem $g \mapsto σ_{g}$ , je homomorfismus grup.

Zobrazení $ϕ$ se nazývá reprezentace permutacemi odpovídající dané akce grupy $G$ na množině $A$ .

Akce grupy $G$ na $A$ se nazývá triviální, resp. věrnou, jestliže $g \cdot a = a \forall g \in G, a \in A$ , resp. reprezentace permutacemi odpovídající této akci je injektivní zobrazení.

Jádro akce a stabilizátor prvku

Jádro akce grupy $G$ na množině $A$ se nazývá množina $J = {g \in G | g \cdot a = a, \forall a \in A}$ (přičemž tato množina je shodná s $\ker ϕ$ ).

Je-li pevně zvolen prvek $a \in A$ , pak množinu $G_{a} = {g \in G | g \cdot a = a}$ nazýváme stabilizátor prvku $a$ . Platí, že jádro akce je průnikem všech stabilizátorů (symbolicky $J = ⋂_{a \in A} G_{a}$ ).

Stabilizátor prvku $a \in A$ tvoří podgrupu grupy G a jádro akce je dokonce normální podgrupa této grupy.

Orbita prvku

Množina $𝒪_{a} = {g \cdot a | g \in G}$ se nazývá orbita prvku $a$ .

Akce grupy G se nazývá tranzitivní, jestliže má právě jednu orbitu (tj. $\forall a, b \in A \exists g \in G : a = g \cdot b$ ).

Působí-li grupa G na konečné množině A, pak platí, že $| 𝒪_{a} | = | G / G_{a} |$ .

Tranzitivní akce a homogenní prostor

Říkáme, že grupa $G$ má na $A$ tranzitivní akci, pokud pro každé $a, b \in A$ existuje $g \in G$ takové, že $g \cdot a = b$ .

Ekvivalentně, akce je tranzitivní pokud pro jedno pevné $a$ a každé $b \in A$ existuje $g \in G$ takové, že $g \cdot a = b$ a $G$ má tedy jenom jednu orbitu.

Pokud má $G$ na množině $A$ tranzitivní akci, můžeme množinu $A$ reprezentovat jako homogenní prostor

A ≃ G / G_{a}

kde $G_{a}$ je stabilizátor jednoho prvku $a \in A$ a $G / G_{a}$ je množina levých rozkladových tříd. Identifikace je $g G_{a} \mapsto g \cdot a$ a je jednoznačná,neboť

Díky tranzitivní akci existuje pro každé $a$ příslušné $g$
Pokud $g_{1} \cdot a = g_{2} \cdot a$ tak $g_{2}^{- 1} g_{1} a = a$ , tedy $g_{2}^{- 1} g_{1} \in G_{a}$ a $g_{1} G_{a} = g_{2} G_{a}$ .

Zobrazení $G / G_{a} \to A$ je tedy bijekce.

Reprezentace množiny jako levých rozkladových tříd $G / G_{a}$ se nazývá v geometrii homogenní prostor a tvoří základ tzv. Kleinovy geometrie. Například Eukleidovské geometrii jsou vlastní Eukleidova grupa Euc(n) všech rotací, zrcadlení a posunutí. Tato grupa má na Eukleidově prostoru tranzitivní akci a stabilizátor pevně daného bodu je grupa O(n) všech otočení a zrcadlení takových které bod zachovávají. Eukleidův prostor $E (n)$ dimenze $n$ tedy můžeme reprezentovat jako

E (n) ≃ E u c (n) / O (n) .

Odkazy

Související články

Externí odkazy

Šablona:Commonscat

Šablona:Autoritní data

Šablona:Portály

Akce grupy na množině

Obsah

Definice

Reprezentace permutacemi

Jádro akce a stabilizátor prvku

Orbita prvku

Tranzitivní akce a homogenní prostor

Odkazy

Související články

Externí odkazy

Navigační menu

Akce grupy na množině

Definice

Reprezentace permutacemi

Jádro akce a stabilizátor prvku

Orbita prvku

Tranzitivní akce a homogenní prostor

Odkazy

Související články

Externí odkazy

Navigační menu

Hledat