Lieova algebra

Lieova algebra je algebraická struktura, která úzce souvisí s Lieovými grupami a jejich reprezentacemi.

Definice

Lieova algebra je algebra, tj. vektorový prostor $V$ nad tělesem $F$ spolu s bilineárním zobrazením (Lieova závorka) ve tvaru

$[\cdot ,\cdot ]:V\times V\to V$,

které pro všechna $x,y,z\in V$ splňuje vlastnosti:

• Alternativita,

$[x,x]=0$.

• Jacobiho identita,

$[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0$.

Lze jednoduše z definice ukázat, že alternativita implikuje antikomutativitu, a naopak v případě, že uvažujeme těleso jiné charakteristiky než dva, antikomutativita implikuje alternativitu.

Uvažujme libovolné dva prvky $x,y\in V$. S využitím bilinearity Lieovy závorky lze psát

$[x+y,x+y]=[x,x]+[x,y]+[y,x]+[y,y]=[x,y]+[y,x]=0$,

z čehož dostáváme antikomutativitu. Naopak stačí uvažovat

$[x,x]=-[x,x]$,

z čehož plyne $2[x,x]=0$, a tudíž z antikomutativity plyne alternativita.

Příklady

• Libovolný vektorový prostor s triviální (nulovou) závorkou: $[x,y]=0$
• Třírozměrný vektorový prostor s vektorovým součinem: $[\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}]:=\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{y}$

• matice $n\times n$ s nulovou stopou a komutátorem $[A,B]=AB-BA$
• antisymetrické reálné matice spolu s komutátorem
• antihermitovské matice spolu s komutátorem
• funkce na fázovém prostoru spolu s Poissonovou závorkou
• vektorová pole na varietě s komutátorem vektorových polí
• Tečný prostor $𝔤$ Lieovy grupy G v jednotkovém prvku spolu se závorkou $[x,y]:=\mathrm{a}\mathrm{d}(x)y$, kde $\mathrm{a}\mathrm{d}\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(𝔤)$ je derivace zobrazení ${\mathrm{A}\mathrm{d}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(tx)}\in \mathrm{G}\mathrm{l}(𝔤)$ v $t=0$. Této Lieovy algebře $𝔤$ se říká Lieova algebra Lieovy grupy G. V případě maticových grup je $𝔤$ pouze tečný prostor G a $[x,y]$ obyčejný komutátor matic.

Související články

• Sophus Lie