Charakteristika (matematika)

Charakteristika okruhu $R$ (občas značena char(R)) je definována jako nejmenší počet sečtení jednotkového prvku (značeného obvykle 1) nutný k získání nulového prvku (obvykle značeného 0). Pokud takový součet nelze nalézt, pak řekneme, že charakteristika okruhu $R$ je 0 (někdy též $\mathrm{\infty }$). Jedná se tedy o nejmenší přirozené číslo n splňující rovnost

$\underset{\text{n}}{\underbrace{1+\cdots +1}}=0$

případně 0, pokud žádné n splňující tuto rovnost neexistuje.

Charakteristiku okruhu lze také zavést jako exponent aditivní grupy okruhu $R$, tj. nejmenší pozitivní přirozené číslo n takové, že splňuje

$\underset{\text{n}}{\underbrace{a+\cdots +a}}=0$

pro všechny prvky $a\in R$ (pokud takové číslo existuje, jinak je charakteristika rovna 0). Pokud je okruh definován bez jednotkového prvku (některá literatura tuto definici používá), pak lze výše uvedeným způsobem definovat charakteristiku i v těchto okruzích. Obě uvedené definice charakteristiky jsou ekvivalentní, což plyne z distributivního zákona pro okruhy.

Příklady

Příkladem okruhu s charakteristikou 0 je obor celých čísel $\mathbb{Z}$ nebo těleso reálných čísel $ℝ$.

Příkladem okruhu s charakteristikou n je obor zbytkových tříd ${\mathbb{Z}}_n$.

Odkazy

Externí odkazy

• Šablona:MathWorld