Vektorový součin

Vektorový součin je v matematice binární operace násobení vektorů v trojrozměrném vektorovém prostoru se skalárním součinem. Výsledkem této operace je vektor (na rozdíl od součinu skalárního, jehož výsledkem je při součinu dvou vektorů skalár) kolmý k oběma násobeným vektorům a jeho velikost je rovna obsahu rovnoběžníku sevřeného násobenými vektory. Vektorové násobení není ani komutativní ani asociativní operace.

Značení

Vektorový součin vektorů $𝐚$ a $𝐛$ se obvykle značí jedním z následujících způsobů:

• $𝐚\times 𝐛$
• $𝐚\wedge 𝐛$ – používáno ve frankofonních zemích
• $[𝐚𝐛]$ – používáno v Rusku

Definice

Mějme aritmetický vektorový prostor ${ℝ}^3$ s kanonickou bází nad číselným tělesem $ℝ$, pak pro vektory $𝐜,𝐚,𝐛\in {ℝ}^3$ platí, že vektor $𝐜$ je vektorovým součinem vektorů $𝐚,𝐛$ vzhledem k uvedené bázi, právě když:

$𝐜=𝐚\times 𝐛=𝐧\left|𝐚\right|\left|𝐛\right|\sin \phi$,

kde $\phi \in ⟨0,\pi ⟩$ je úhel svíraný vektory $𝐚$ a $𝐛$ a kde $𝐧$ je jednotkový vektor k nim kolmý, tj. vektorový součin je vnější součin ve třech rozměrech.

Výše uvedené jednotkové vektory existují dva v závislosti na tom, je-li souřadný systém definován jako pravotočivý nebo levotočivý. V pravotočivém souřadném systému lze použít pravidlo pravé ruky: je-li vektor $𝐚$ znázorněn ukazovákem a vektor $𝐛$ prostředníkem pravé ruky, přičemž ukazovák je natažený v rovině dlaně a prostředník směřuje blíže k rovině na dlaň kolmé, pak vektorový součin $𝐚\times 𝐛$ je ve směru palce.

Vektorový součin lze definovat také bez pomoci úhlu, který oba vektory svírají. Máme-li vektorový součin $𝐜=𝐚\times 𝐛$, pak složky vektoru $𝐜$ lze určit jako:

$c_1=a_2{b}_3-a_3{b}_2$

$c_2=a_3{b}_1-a_1{b}_3$

$c_3=a_1{b}_2-a_2{b}_1$.

S využitím vzájemně jednoznačného přiřazení třísložkových vektorů a antisymetrických matic řádu $3$:

$𝐚=(a_1,a_2,a_3)⟷A=\left(\begin{array}{ccc}0& a_3& -a_2\\ -a_3& 0& a_1\\ a_2& -a_1& 0\end{array}\right)$

lze vektorový součin zavést jako komutátor dvou takových matic:

$\left(\begin{array}{ccc}0& c_3& -c_2\\ -c_3& 0& c_1\\ c_2& -c_1& 0\end{array}\right)=C=BA-AB=\left(\begin{array}{ccc}0& a_1{b}_2-a_2{b}_1& -(a_3{b}_1-a_1{b}_3)\\ -(a_1{b}_2-a_2{b}_1)& 0& a_2{b}_3-a_3{b}_2\\ a_3{b}_1-a_1{b}_3& -(a_2{b}_3-a_3{b}_2)& 0\end{array}\right)$,

kde množina antisymetrických matic je vzhledem ke komutátoru uzavřená.

Pomocí Levi-Civitova symbolu je možné složky vektorového součinu zapsat jako:

$c_i={\epsilon }_{ijk}{a}_j{b}_k$.

Zobecnění při zachování bilinearity

Vektorový součin dvou vektorů není pravý vektor, ale tzv. pseudovektor, tzn. při zrcadlení vztažné soustavy se transformuje s opačným znaménkem než pravé vektory. Chceme-li s vektorovým součinem operovat kovariantně, vyjádříme jeho složky jako prvky antisymetrického tenzoru druhého řádu:

$d_{ij}=a_i{b}_j-a_j{b}_i$.

Počet nezávislých složek takovéhoto antisymetrického tenzoru je roven třem pouze ve třírozměrném prostoru, proto lze provést přiřazení:

$d_{23}=-d_{32}=c_1=a_2{b}_3-a_3{b}_2$

$d_{31}=-d_{13}=c_2=a_3{b}_1-a_1{b}_3$

$d_{12}=-d_{21}=c_3=a_1{b}_2-a_2{b}_1$

$d_{11}=d_{22}=d_{33}=0$.

Toto přiřazení je speciálním případem tzv. Hodgeova duálu a umožňuje zobecnění vektorového součinu i do prostorů s dimenzí různou od 3. (Např. ve čtyřrozměrném prostoru je počet nezávislých složek antisymetrického tenzoru druhého řádu 6, takže jej již nelze vyjádřit jako pseudovektor a zobecněním vektorového součinu je pseudotenzor druhého řádu.)

Vlastnosti

Vektorový součin

pro všechny nenulové vektory $𝐮,𝐯,𝐰\in {ℝ}^3$ a všechna $a\in ℝ$ platí:

• Vektorový součin je homogenní funkce, tj.:

$a^2(𝐮\times 𝐯)=(a𝐮)\times (a𝐯)$ resp. $a(𝐮\times 𝐯)=(a𝐮)\times 𝐯=𝐮\times (a𝐯)$.

• Vektorový součin není asociativní, tj. platí pro něj Jacobiho rovnost:

$(𝐮\times 𝐯)\times 𝐰=𝐮\times (𝐯\times 𝐰)+𝐯\times (𝐰\times 𝐮)$.

• Vektorový součin je distributivní vůči sčítání, tj. jedná se o bilineární operaci:

$𝐰\times (𝐮+𝐯)=(𝐰\times 𝐮)+(𝐰\times 𝐯)$.

• Vektorový součin je antikomutativní, tj.:

$(𝐮\times 𝐯)=-(𝐯\times 𝐮)$.

• Vektorový součin vektorů $𝐮$ a $𝐯$ je nulový vektor ($𝐮\times 𝐯=\mathrm{𝟎}$), právě když jsou násobené vektory kolineární.
• Pro derivaci vektorového součinu v třírozměrném prostoru platí:

$(𝐮\times 𝐯{)}^{\prime }={𝐮}^{\prime }\times 𝐯+𝐮\times {𝐯}^{\prime }$.

• Tvoří-li vektory $𝐢$, $𝐣$, $𝐤$ (v tomto pořadí) pravotočivou ortonormální bázi třírozměrného prostoru, pak:

$𝐢\times 𝐣=𝐤$

$𝐣\times 𝐤=𝐢$

$𝐤\times 𝐢=𝐣$.

• V uvedené bázi lze vektorový součin vektorů $𝐮$ a $𝐯$ zapsat pomocí determinantu jako:

$𝐮\times 𝐯=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ u_1& u_2& u_3\\ v_1& v_2& v_3\end{array}\right|$.

Příklad

Součin vektorů u = (1,2,0) a v = (0,1,2) se vypočítá následovně:

• Výpočet pomocí definice:

$𝐮\times 𝐯=(u_2{v}_3-u_3{v}_2,u_3{v}_1-u_1{v}_3,u_1{v}_2-u_2{v}_1)$

$𝐮\times 𝐯=(1,2,0)\times (0,1,2)=(2\cdot 2-0\cdot 1,0\cdot 0-1\cdot 2,1\cdot 1-2\cdot 0)=(4,-2,1)$

$𝐯\times 𝐮=(0,1,2)\times (1,2,0)=(1\cdot 0-2\cdot 2,2\cdot 1-0\cdot 0,0\cdot 2-1\cdot 1)=(-4,2,-1)$

Je zřejmé, že vektory u×v a v×u jsou navzájem opačné vektory. Oba jsou kolmé na rovinu určenou vektory u, v.

• Výpočet pomocí determinantu matice:

$𝐮\times 𝐯=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ u_1& u_2& u_3\\ v_1& v_2& v_3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ 1& 2& 0\\ 0& 1& 2\end{array}\right|$

kde pro výpočet determinantu matice řádu 3 lze použít například Sarrusovo pravidlo:

$\begin{array}{ccc}𝐮\times 𝐯& =& 𝐢u_2{v}_3+u_1{v}_2𝐤+v_1𝐣u_3-𝐤u_2{v}_1-u_3{v}_2𝐢-v_3𝐣u_1\\ & =& 𝐢\cdot 2\cdot 2+1\cdot 1\cdot 𝐤+0\cdot 𝐣\cdot 0-𝐤\cdot 2\cdot 0-0\cdot 1\cdot 𝐢-2\cdot 𝐣\cdot 1\\ & =& 4𝐢-2𝐣+1𝐤\end{array}$

kde i, j, k jsou jednotkové vektory kolineární s jednotlivými souřadnými osami, tedy i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1), tj,:

$𝐮\times 𝐯=4\cdot (1,0,0)-2\cdot (0,1,0)+1\cdot (0,0,1)=(4,-2,1)$

Výpočet v×u je analogický.

Aplikace

Moment síly

Vektorový součin je hojně využíván ve fyzice, např. moment síly $𝐌$ je definován následovně:

$𝐌=𝐫\times 𝐅$,

kde $𝐫$ je polohový vektor působiště síly. Podobně vypadá i moment hybnosti $𝐋$:

$𝐋=𝐫\times 𝐩$,

kde $𝐩$ značí hybnost hmotného bodu, který má polohu $𝐫$ vůči zvolenému počátku souřadnic. Moment síly a moment hybnosti spolu úzce souvisí. Ukáže se to při pokusu o derivování momentu hybnosti podle času:

$\frac{\mathrm{d}𝐋}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(𝐫\times 𝐩)=\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}t}\times 𝐩+𝐫\times \frac{\mathrm{d}𝐩}{\mathrm{d}t}$.

Zde bylo využito výše zmíněného pravidla pro derivaci vektorového součinu. Výraz $\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}t}$ je v kinematice přesná definice rychlosti $𝐯$ tělesa. Podobně tak $\frac{\mathrm{d}𝐩}{\mathrm{d}t}$ definuje sílu. Poslední užitá fyzikální rovnost se týká hybnosti. $𝐩=m𝐯$. Na základě těchto opisů lze derivaci momentu hybnosti upravit do tvaru:

$m(𝐯\times 𝐯)+𝐫\times 𝐅$,

kde vektorový součin dvou identických vektorů $𝐯\times 𝐯$ je roven nule, pak dostaneme:

$\frac{\mathrm{d}𝐋}{\mathrm{d}t}=𝐫\times 𝐅=𝐌$.

Moment síly je tedy časová derivace momentu hybnosti. V praktickém světě se tohoto vztahu dá využít např. v orbitální mechanice. Planeta, která obíhá kolem Slunce tvořícího počátek souřadnic, má nulový moment síly, neboť gravitační síla i polohový vektor mají stejný směr. Moment hybnosti této planety se určí integrováním:

$𝐋=\int 𝐌\mathrm{d}t=\int 0\mathrm{d}t=C$,

kde $C$ je integrační konstanta. Jinými slovy $𝐋=\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$, což je pravidlo charakteristické pro 2. Keplerův zákon.

Operátor rotace

Další forma vektorového součinu důležitá pro fyziku je operátor rotace. Jedná se o diferenciální operátor, jehož aplikování na vektor $𝐅=(F_x,F_y,F_z)$ má strukturu:

$\mathrm{rot}𝐅=\mathrm{\nabla }\times 𝐅=(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})$,

kde $\mathrm{\nabla }$ značí operátor nabla:

$\mathrm{\nabla }=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})$.

Rotace se vyskytuje ku příkladu v prvních dvou Maxwellových rovnicích zapsaných v diferenciálním tvaru:

$\mathrm{\nabla }\times 𝑯=𝒋+\frac{\partial 𝑫}{\partial t}$

$\mathrm{\nabla }\times 𝑬=-\frac{\partial 𝑩}{\partial t}$.

Související články

• Vektorový prostor
• Skalární součin
• Smíšený součin

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat