Tenzor

Tenzor je v matematice objekt, který je zobecněním pojmu vektor. Zatímco složky vektoru je možné označit jedním indexem, tenzor může mít více indexů, např. $T_{k l \dots n}$ .

Jako tenzor T se označuje soubor reálných a nebo komplexních čísel $T_{i_{1} i_{2} \dots i_{n}}$ (počet indexů je n), které se nazývají složky (komponenty) tenzoru a které se při transformaci souřadnic $x_{i}^{'} = \sum_{j} a_{i j} x_{j}$ transformují následujícím způsobem:

T_{i_{1} i_{2} \dots i_{n}}^{'} = \sum_{k_{1} k_{2} \dots k_{n}} a_{i_{1} k_{1}} a_{i_{2} k_{2}} \dots a_{i_{n} k_{n}} T_{k_{1} k_{2} \dots k_{n}}

Tato transformace tenzorů je multilineární zobrazení, tedy zobrazení, které je lineární v každé složce. Podobně jako vektor je tenzor, jakožto samostatný objekt vůči reprezentaci v dané soustavě souřadnic invariantní. Jeho složky (tedy konkrétní reprezentace) však, stejně jako u vektoru, závisí na volbě souřadnic.

Pokud n je počet indexů tenzoru T, nazýváme T tenzorem n-tého řádu. Rozlišujeme pak dále indexy kovariantní (dolní) a kontravariantní (horní). Má-li tenzor n kovariantních a m kontravariantních složek, jeho index je n+m a jedná se o tenzor typu (n,m). Metrický tenzor $g_{μ ν}$ má dvě kovariantní složky, jeho index je tak 2 a typ (0,2). Důvodem pro rozlišování kovariantních a kontravariantních složek je jejich vzájemná odlišnost v transformačních pravidlech.

Část matematiky, která při své práci používá tenzory, se označuje jako tenzorový počet. Tenzory se uplatňují nejen v matematice, ale i ve fyzice.

Máme-li např. dva vektory $𝐀, 𝐁$ , můžeme z nich vytvořit tenzor druhého řádu, jehož složky budou určeny vztahem $T_{i j} = A_{i} B_{j}$ . Tenzorový charakter je možné ověřit na základě transformačních pravidel pro vektory, tzn.

T_{k l}^{'} = A_{k}^{'} B_{l}^{'} = (\sum_{i} a_{k i} A_{i}) (\sum_{j} a_{l j} B_{j}) = \sum_{i, j} a_{k i} a_{l j} A_{i} B_{j} = \sum_{i, j} a_{k i} a_{l j} T_{i j}

Speciálními případy tenzorů jsou tenzory nultého řádu, které se označují jako skaláry, a tenzory prvního řádu, tedy vektory.

Ve fyzice se tenzory druhého řádu obvykle reprezentují jako matice, ale ne všechny matice jsou fyzikálně smysluplnými tenzory.^[1]

Definice

Mějme vektorový prostor $𝐕$ nad tělesem $𝕋$ a k němu jeho duální prostor $𝐕^{*}$ . Tenzor $T$ typu (n,m) je zobrazení

$T_{m}^{n} : 𝐕^{*} \times \dots \times 𝐕^{*} \times 𝐕 \times \dots \times 𝐕 \to 𝕋$

( $𝐕$ m-krát $𝐕^{*}$ n-krát), které je lineární v každém ze svých n+m argumentů.

Je nutné dodat, že pořadí vektorového prostoru po jeho duálu je častější v anglické literatuře a naopak méně časté v české.

Odkazy

Tenzor

Obsah

Definice

Odkazy

Reference

Související články

Externí odkazy

Navigační menu

Tenzor

Definice

Odkazy

Reference

Související články

Externí odkazy

Navigační menu

Hledat