Tenzorový součin

Tenzorový součin dvou vektorových prostorů $V$ a $W$ nad stejným číselným tělesem $T$ je v matematice vektorový prostor $Z$ disponující takovým bilineárním zobrazením $\varphi :V\times W\to Z$ z kartézského součinu $V$ a $W$ na $Z,$ které je „nejuniverzálnější“ ze všech možných bilineárních zobrazení z $\varphi :V\times W$ v tom smyslu, že každé jiné bilineární zobrazení jednoznačně lineárně faktorizuje nad $\varphi$. To znamená, že ke každému bilineárnímu zobrazení $B:V\times W\to X$ na vektorový prostor $X$ nad tělesem $T$ existuje jednoznačně definované lineární zobrazení $\tilde{B}:Z\to X$ tak, že $B=\tilde{B}\circ \varphi ,$, čili že pro libovolný pár vektorů $v,w$ platí $B(v,w)=\tilde{B}(\varphi (v,w)).$ Pokud takový vektorový prostor $Z$ existuje, je až na izomorfismus jednoznačný, tj. pro každý jiný $Z^{\prime }$ s univerzálním bilineárním zobrazením ${\varphi }^{\prime }:V\times W\to Z^{\prime }$ existuje izomorfismus $k:Z\to Z^{\prime }$ tak, že ${\varphi }^{\prime }=k\circ \varphi .$ Prostor $Z$ se značí $V\otimes W$ a příslušné bilineární zobrazení se píše $\varphi (v,w)=v\otimes w$. Definici tenzorového součinu lze indukcí zobecnit na více vektorových prostorů: $V_1\otimes V_2\otimes V_3=(V_1\otimes V_2)\otimes V_3.$ atd.

Ve fyzice se pro vektorový prostor $V$ s duálním prostorem $V^{*}$ (často $V={ℝ}^3$) prvky tenzorového součinu

$\underset{r\text{ faktorů}}{\underbrace{V\otimes \cdots \otimes V}}\otimes \underset{s\text{ faktorů}}{\underbrace{V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}}}$

označují jako tenzory kontravariantní stupně $r$ a kovariantní stupně $s$. Mluví se pak o tenzorech typu $(r,s)$.

Vlastnosti

Má-li prostor $V$ dimenzi $m$ a $W$ dimenzi $n$, pak $V\otimes W$ má dimenzi $mn$. Bázi $V\otimes W$ lze zkonstruovat jako množinu všech uspořádaných dvojic $(e_i,f_j)$, kde $e_i$ jsou bázové vektory $V$ a $f_j$ bázové vektory $W.$

Tenzorový součin obecně není komutativní, jakožto bilineární zobrazení je však distributivní a asociativní. Pro všechny $v,v^{\prime },v^{″}\in V,$ $w,w^{\prime },w^{″}\in W$ a libovolné $\lambda \in T$ tedy platí:

	$(v^{\prime }+v^{″})\otimes w=v^{\prime }\otimes w+v^{″}\otimes w$	(1)
	$v\otimes (w^{\prime }+w^{″})=v\otimes w^{\prime }+v\otimes w^{″}$	(2)
	$(\lambda v)\otimes w=\lambda \cdot (v\otimes w)=v\otimes (\lambda w)$	(3)