Moment hybnosti

Moment hybnosti je vektorová fyzikální veličina, která popisuje dynamicky rotační pohyb tělesa. Určuje se vzhledem k bodu nebo ose otáčení. Moment hybnosti bývá také označován jako kinetický moment, impulsmoment nebo točivost (starší literatura).

Značení

• Symbol veličiny: $𝐋$ , někdy také $𝐛$
• Jednotka SI: kilogram krát metr na druhou za sekundu, značka jednotky: kg·m²·s⁻¹

Definice

Hybnost $p$, moment hybnosti $L$, moment síly $\tau =M$, průvodič $r$ a síla $F$

Moment hybnosti $𝐋$ hmotného bodu vzhledem k počátku soustavy souřadnic je určen vektorovým součinem jeho průvodiče $𝐫$ a hybnosti $𝐩$,

$𝐋=𝐫\times 𝐩$.

Vztah k momentu síly

Vyjdeme-li ze vztahu $𝐌=𝐫\times 𝐅$ pro moment síly, pak lze provést následující úpravu

$𝐌=𝐫\times 𝐅=𝐫\times \frac{\mathrm{d}𝐩}{\mathrm{d}t}=(𝐫\times \frac{\mathrm{d}(m𝐯)}{\mathrm{d}t})+(\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}t}\times m𝐯)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(𝐫\times m𝐯)=\frac{\mathrm{d}𝐋}{\mathrm{d}t}$,

kde $𝐫$ je polohový vektor, $𝐯=\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}t}$ je rychlost, $m$ je hmotnost (hmotného bodu), $𝐩=m𝐯$ je hybnost, $𝐌$ je moment síly, $𝐋$ je moment hybnosti, $𝐅$ je síla. Při výpočtu bylo využito skutečnosti, že vektorový součin $𝐯\times m𝐯$, tzn. v rovnici člen $(\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}t}\times m𝐯)$, je roven nule, a proto jej můžeme k rovnici bez obav přičíst. Tím bylo možno následně použít vzorec pro derivaci vektorového součinu.

Předchozí vztah lze slovně popsat tak, že změna momentu hybnosti vzhledem k danému bodu $O$ je co do velikosti i směru rovna momentu síly (vzhledem k témuž bodu), který na hmotný bod působí.

V soustavě hmotných bodů platí pro $i$-tý hmotný bod podle vztah ${𝐌}_i=\frac{\mathrm{d}{𝐋}_i}{\mathrm{d}t}$. Z vlastností momentu síly pak plyne

$𝐌=\sum _{i=1}^n{𝐌}_i=\sum _{i=1}^n\frac{\mathrm{d}{𝐋}_i}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sum _{i=1}^n{𝐋}_i=\frac{\mathrm{d}𝐋}{\mathrm{d}t}$,

kde $𝐋=\sum _{i=1}^n{𝐋}_i$ představuje celkový moment hybnosti.

Vztah k plošné rychlosti

Vztah mezi plošnou rychlostí $𝐰$ a momentem hybnosti je

$𝐋=m𝐰$,

což souvisí s platností druhého Keplerova zákona.

Vztah k momentu setrvačnosti

Při kruhovém pohybu lze rychlost vyjádřit jako $𝐯=\mathit{\omega }\times 𝐫$. Moment hybnosti soustavy $n$ hmotných bodů vzhledem k těžišti lze pak vyjádřit vztahem

$𝐋=\sum _{i=1}^n[{𝐫}_i\times m_i(\mathit{\omega }\times {𝐫}_i)]$

kde ${𝐫}_i$ označuje polohu $i$-tého hmotného bodu s hmotností $m_i$ vzhledem k těžišti a $\mathit{\omega }$ je úhlová rychlost pohybu tělesa kolem osy rotace jdoucí těžištěm.

Použitím dvojnásobného vektorového součinu dostaneme

$𝐋=\sum _{i=1}^n{m}_i[r_i^2\mathit{\omega }-(\mathit{\omega }\cdot {𝐫}_i){𝐫}_i]$

Moment hybnosti tělesa vzhledem k těžišti má tedy dvě složky. První má směr úhlové rychlosti, tedy směr osy rotace, druhá má ale jiný směr. Moment hybnosti tedy obecně nemá směr rotační osy. Označíme-li složky úhlové rychlosti $\mathit{\omega }$ vzhledem k libovolné soustavě souřadnic s počátkem v těžišti a pevně spojené s tělesem jako ${\omega }_x,{\omega }_y,{\omega }_z$ a složky průvodiče ${𝐫}_i$ jako $x_i,y_i,z_i$, můžeme předchozí vztah rozepsat do složek. Z vyjádření momentu setrvačnosti $J$ pak lze získat

$L_x={\omega }_x{J}_x-{\omega }_y{D}_{xy}-{\omega }_z{D}_{zx}$

$L_y={\omega }_y{J}_y-{\omega }_z{D}_{yz}-{\omega }_x{D}_{xy}$

$L_z={\omega }_z{J}_z-{\omega }_x{D}_{zx}-{\omega }_y{D}_{yz}$

kde $J_i$ jsou momenty setrvačnosti k $i$-té ose a $D_{ij}$ jsou deviační momenty.

Pokud vztáhneme složky momentu hybnosti k soustavě souřadnic totožné s hlavními osami centrálního elipsoidu setrvačnosti, deviační momenty vymizí, a složky momentu hybnosti vzhledem k hlavním osám budou

$L_1=J_1{\omega }_1$

$L_2=J_2{\omega }_2$

$L_3=J_3{\omega }_3$

Pokud se těleso otáčí kolem osy, která je totožná s jednou z hlavních os setrvačnosti nebo kolem pevné osy, jsou složky úhlové rychlosti k osám kolmým k rotační ose nulové a moment hybnosti lze zapsat jako

$𝐋=J\mathit{\omega }$

Moment setrvačnosti je možno brát jako symetrický tenzor druhého řádu podle formule

$J_{\kappa \lambda }=\sum _{i=1}^n{m}_i[r_i^2{\delta }_{\kappa \lambda }-r_{\kappa }{r}_{\lambda }]$

(řecké indexy označují tři složky tenzorů, symbol ${\delta }_{\kappa \lambda }$ označuje Kroneckerovo delta ). Moment hybnosti tělesa je potom možno vyjádřit ve tvaru

$L_{\kappa }=\sum _{\lambda =1}^3{J}_{\kappa \lambda }{\omega }_{\lambda }$

a rotační energii tělesa ve tvaru

$E=\frac{1}{2}\sum _{\kappa ,\lambda =1}^3{J}_{\kappa \lambda }{\omega }_{\kappa }{\omega }_{\lambda }$

Moment hybnosti tedy nemusí být nutně rovnoběžný s osou rotace, ale pokud nepůsobí vnější síla, zachovává svou velikost a směr. Naopak okamžitá osa rotace může vykonávat složitý precesní pohyb.

Rotační impuls

Pro časový účinek momentu síly můžeme v analogii s impulsem síly získat vztah pro impuls momentu hybnosti (rotační impuls) $𝐛$

$𝐋-{𝐋}_0=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}𝐌\mathrm{d}t=𝐛$

Pokud je silový moment $𝐌$ po celou dobu působení stálý, je možné předchozí výraz zjednodušit na tvar

$𝐋-{𝐋}_0=𝐌(t-t_0)$

Vlastnosti

Moment hybnosti má při rotačním pohybu podobný význam jako hybnost při pohybu přímočarém. Podobně jako je hybnost součinem hmotnosti a rychlosti v případě translačního pohybu, tak je moment hybnosti (tenzorovým) součinem momentu setrvačnosti a úhlové rychlosti v případě rotačního pohybu.

Pro celkový moment hybnosti izolované soustavy platí jeden z nejdůležitějších fyzikálních zákonů, zákon zachování momentu hybnosti. Pokud je celkový moment vnějších sil působících na soustavu nulový, tak se její celkový moment hybnosti zachovává. Platí například pro pohyb v poli centrální síly, jako v případě planet obíhajících okolo Slunce (2. Keplerův zákon).

Součet momentů vnitřních sil

Součet momentů vnitřních sil v soustavě je roven nule, protože:

1. Dva body na sebe působí silou přitažlivou nebo odpudivou (tzn. má směr shodný se směrem jejich spojnice)

2. Působí-li bod A na bod B, pak bod B působí na bod A silou stejně velikou, ale opačně orientovanou

Uvažme tedy vzoreček pro moment sil v soustavě hmotných bodů: ${𝐌}_i$ je moment hybnosti $i$-tého bodu. Mezi $i$-tým a $j$-tým bodem působí síla ${𝐅}_{i,j}=-{𝐅}_{j,i}$. Celkový moment vnitřních sil je $\sum {𝐌}_i=\sum _i{𝐫}_i\times \sum _j{𝐅}_{i,j}=\sum _i\sum _j{𝐫}_i\times {𝐅}_{i,j}$. Uvažujme nyní pouze interakci $i$-tého a $j$-tého bodu: ${𝐫}_i\times {𝐅}_{i,j}+{𝐫}_j\times {𝐅}_{j,i}={𝐫}_i\times {𝐅}_{i,j}-{𝐫}_j\times {𝐅}_{i,j}=({𝐫}_i-{𝐫}_j)\times {𝐅}_{i,j}$,

kde ${𝐫}_i-{𝐫}_j$ je spojnice $i$-tého a $j$-tého bodu. Dle prvního předpokladu na sebe tyto body působí silou, která je s jejich spojnicí rovnoběžná. A jak známo, vektorový součin rovnoběžných vektorů je roven nule.

Moment hybnosti v kvantové mechanice

V kvantové mechanice je moment hybnosti vždy kvantován. Výsledkem měření jedné komponenty momentu hybnosti (impulsmomentu) mohou být pouze násobky redukované Planckovy konstanty. Kvantován je i kvadrát momentu hybnosti.

Zcela novou vlastností je spin částic, vnitřní moment hybnosti určité částice. Na rozdíl od orbitálního impulsmomentu, který byl zmíněn výše, může nabývat komponenta spinu i poločíselných hodnot.

Při zavedení kvantového impulsmomentu vyjdeme z principu korespondence, kvantový impulsmoment je tedy definován takto:

$\widehat{𝐋}=\widehat{𝐫}\times \hat{p}$

Z komutačních relací pro souřadnici a impuls $[{\hat{X}}_k,{\hat{P}}_l]=i\hslash {\delta }_{kl}$ lze odvodit komutační relace pro impulsmoment:

$[{\hat{L}}_k,{\hat{L}}_l]=i\hslash {\epsilon }_{kln}{\hat{L}}_n$

Z těchto komutačních relací již plyne kvantování impulsmomentu. Pro vlastní vektory kvadrátu impulsmomentu a jeho třetí komponenty platí:

${\widehat{𝐋}}^{\mathrm{𝟐}}|lm⟩={\hslash }^{2}l(l+1)|lm⟩$

${\hat{L}}_3|lm⟩=\hslash m|lm⟩$

Kde $l$ je nezáporné celé nebo polocelé číslo. Pro určitou hodnotu $l$ může kvantové číslo $m$ nabývat pouze hodnot $-l,-l+1,\dots ,l-1,l$, tedy celkem $2l+1$ hodnot.

Související články

• Hybnost
• Moment setrvačnosti
• Zákon zachování momentu hybnosti
• Rotační pohyb
• Orbitální moment hybnosti (záření)

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Šablona:Wikislovník