Levi-Civitův symbol

V matematice, a zvlášť v tenzorovém počtu, se Levi-Civitův symbol (pojmenovaný po italském matematikovi Tullio Levi-Civitovi), také nazývaný permutační symbol nebo antisymetrický symbol, definuje následovně:

Levi-Civitův symbol

${\epsilon }_{ijk}=\{\begin{array}{cc}+1& \text{je-li }(i,j,k)\text{ rovno }(1,2,3),(2,3,1)\text{ nebo }(3,1,2),\\ -1& \text{je-li }(i,j,k)\text{ rovno }(3,2,1),(1,3,2)\text{ nebo }(2,1,3),\\ 0& \text{jindy, tj.: }i=j\text{ nebo }j=k\text{ nebo }k=i,\end{array}$

tj. hodnota je 1 jestliže (i, j, k) je sudá permutace (1,2,3) a −1 jestliže je lichá.

Je pojmenován po italském matematikovi Civitovi. Používá se v mnoha oblastech matematiky a fyziky.

Například v algebře lze determinant 3×3 matice A napsat jako

$\sum _{i,j,k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{a}_{1i}{a}_{2j}{a}_{3k}$

(a podobně pro čtvercové matice libovolné velikosti, viz níže)

a vektorový součin dvou vektorů lze napsat jako determinant:

$𝐚\mathbf{\times }𝐛=\left|\begin{array}{ccc}{𝐞}_{\mathrm{𝟏}}& {𝐞}_{\mathrm{𝟐}}& {𝐞}_{\mathrm{𝟑}}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|=\sum _{i,j,k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{𝐞}_{𝐢}{a}_j{b}_k$

nebo jednodušeji:

$𝐚\mathbf{\times }𝐛=𝐜,c_i=\sum _{j,k=1}^3{\epsilon }_{ijk}{a}_j{b}_k$

Toto lze dále zjednodušit užitím Einsteinovy konvence.

Levi-Civitův symbol lze zobecnit na vyšší dimenze:

${\epsilon }_{ijk\ell \dots }=\{\begin{array}{cc}+1& \text{je-li }(i,j,k,\ell ,\dots )\text{ suda permutace}(1,2,3,4,\dots )\\ -1& \text{je-li }(i,j,k,\ell ,\dots )\text{ licha permutace }(1,2,3,4,\dots )\\ 0& \text{jsou-li si 2 indexy rovny}\end{array}$

Tudíž je rovno znaménku permutace v případě permutace, a nule jindy.

Tenzor, jehož komponenty jsou dány Levi-Civitovým symbolem (tenzor kovariantního rozsahu n), se někdy nazývá permutační tenzor. Ve skutečnosti se jedná o pseudotenzor, protože mění znaménko při nepřímé ortogonální transformaci (s jakobiánem −1, tj. rotace složené se zrcadlením). Protože Levi-Civitův symbol je pseudotenzor, výsledek vektorového součinu je pseudovektor a ne vektor.

Levi-Civitův symbol má vztah ke Kroneckerovu delta. Ve třech dimenzích je vztah dán následujícími rovnicemi:

${\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{lmn}={\delta }_{il}{\delta }_{jm}{\delta }_{kn}+{\delta }_{im}{\delta }_{jn}{\delta }_{kl}+{\delta }_{in}{\delta }_{jl}{\delta }_{km}-{\delta }_{il}{\delta }_{jn}{\delta }_{km}-{\delta }_{in}{\delta }_{jm}{\delta }_{kl}-{\delta }_{im}{\delta }_{jl}{\delta }_{kn}$

$\sum _{i=1}^3{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{imn}={\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km}$

$\sum _{i,j=1}^3{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{ijn}=2{\delta }_{kn}$

Navíc zřejmě platí, že

$\sum _{i,j,k,\dots =1}^n{\epsilon }_{ijk\dots }^2=n!$.

vždy platí v n dimenzích (sčítáme přes všechny permutace třídy n).

Příklady

1. Determinant $n\times n$ matice $A=(a_{ij})$ lze napsat jako

$\det A={\epsilon }_{i_1\cdots i_n}{a}_{1i_1}\cdots a_{n{i}_n},$

kde každé $i_l$ se sečte přes $1,\dots ,n.$

Ekvivalentně můžeme napsat

$\det A=\frac{1}{n!}{\epsilon }_{i_1\cdots i_n}{\epsilon }_{j_1\cdots j_n}{a}_{i_1{j}_1}\cdots a_{i_n{j}_n},$

kde nyní každé $i_l$ a každé $j_l$ se sečte přes $1,\dots ,n$.

2. Jestliže $A=(A^1,A^2,A^3)$ a $B=(B^1,B^2,B^3)$ jsou vektory v $R^3$, pak $i$tá komponenta jejich vektorového součinu je rovna

$(A\times B{)}^i={\epsilon }^{ijk}{A}^j{B}^k.$

například první komponenta $A\times B$ je $A^2{B}^3-A^3{B}^2$. Z výše uvedeného výrazu pro vektorový součin je zřejmé, že $A\times B=-B\times A$. Dále jestliže $C=(C^1,C^2,C^3)$ je vektor, podobně jako $A$ a $B$, pak trojčlenný skalární součin

$A\cdot (B\times C)={\epsilon }^{ijk}{A}^i{B}^j{C}^k.$

Z tohoto výrazu lze vidět, že trojčlenný skalární součin je antisymetrický vzhledem k výměně sousedních argumentů. Například $A\cdot (B\times C)=-B\cdot (A\times C)$.

3. Předpokládejme, že $F=(F^1,F^2,F^3)$ je vektorové pole definované na nějaké otevřené množině $R^3$ s katézskými souřadnicemi $x=(x^1,x^2,x^3)$. Pak $i$tá komponenta rotace $F$ se rovná

$(\mathrm{\nabla }\times F{)}^i(x)={\epsilon }^{ijk}\frac{\partial }{\partial x^j}{F}^k(x).$

Související články

• Funkce signum
• Znaménko permutace
• Izotropní tenzor