Vnější součin

Objem trojrozměrného rovnoběžnostěnu sevřeného vektory $r_1$, $r_2$ a $r_3$.

Vnější součin je v matematice (n-1)-ární operace násobení vektorů v n-rozměrném vektorovém prostoru se skalárním součinem. Výsledkem této operace je vektor kolmý ke všem násobeným vektorům a jeho velikost je rovna objemu (n-1) rozměrného rovnoběžnostěnu násobenými vektory sevřeného.

Definice

Mějme aritmetický vektorový prostor ${ℝ}^n$ s ortonormální bází nad číselným tělesem $ℝ$, pak pro vektory ${𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n\in {ℝ}^n$ platí, že vektor ${𝐯}_1$ je vnějším součinem vektorů ${𝐯}_2,\dots ,{𝐯}_n$ vzhledem k uvedené bázi, právě když:

${𝐯}_1=\bigwedge ({𝐯}_2,\dots ,{𝐯}_n)=[(-1{)}^{1+1}det{A}_1,\cdots ,(-1{)}^{n+1}det{A}_n]$,

symbolem $\bigwedge$ značíme vnější součin a matice $A_i$ pro $i\in \{1,\dots ,n\}$ vznikly vynecháním i-tého sloupce matice:

$\left[\begin{array}{ccc}{v}_2{}^1& \cdots & v_2{}^n\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ v_n{}^1& \cdots & v_n{}^n\end{array}\right]$

kde dolní index označuje index vektoru a horní index označuje index jeho souřadnice vzhledem k dané bázi.

Vektorový součin

Šablona:Podrobně Mějme aritmetický vektorový prostor ${ℝ}^3$ s kanonickou bází nad číselným tělesem $ℝ$, pak pro vektory $𝐳,𝐱,𝐲\in {ℝ}^3$ platí, že vektor $𝐳$ je vnějším součinem vektorů $𝐱,𝐲$ vzhledem k uvedené bázi, právě když:

$𝐳=𝐱\times 𝐲=[\left|\begin{array}{cc}{x}_2& x_3\\ y_2& y_3\end{array}\right|,-\left|\begin{array}{cc}{x}_1& x_3\\ y_1& y_3\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ y_1& y_2\end{array}\right|]=[x_2{y}_3-y_2{x}_3,y_1{x}_3-x_1{y}_3,x_1{y}_2-y_1{x}_2]$, tj.:

$|𝐳{|}^2=(x_2{y}_3-y_2{x}_3{)}^2+(y_1{x}_3-x_1{y}_3{)}^2+(x_1{y}_2-y_1{x}_2{)}^2=|𝐱{|}^2|𝐲{|}^2-(𝐱\cdot 𝐲{)}^2=|𝐱{|}^2|𝐲{|}^2(1-co{s}^2\phi )=|𝐱{|}^2|𝐲{|}^{2}si{n}^2\phi$,

přičemž smíšený součin $𝐱\cdot (𝐱\times 𝐲)=0$ a $𝐲\cdot (𝐱\times 𝐲)=0$, tj. vektor $𝐳$ je kolmý na vektory $𝐱$ a $𝐲$ a jeho velikost je rovna obsahu rovnoběžníku sevřeného násobenými vektory, tj. vektor $𝐳$ je vektorovým součinem vektorů $𝐱$ a $𝐲$.

Související články

• Vektorový součin
• Skalární součin
• Smíšený součin

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat