Tečný prostor

Matematický pojem tečný prostor variety v daném bodě značí množinu všech jejích tečných vektorů "vázaných" v tomto bodě, viz Obr. 1. Na každém tečném prostoru je přirozeným způsobem dána struktura vektorového prostoru; odtud tedy označení tečný prostor.

Obr. 1: Intuitivní geometrická představa tečného prostoru koule

Definice

Pokud $M$ je hladká varieta a $ℱ(M)$ značí množinu všech hladkých funkcí definovaných na $M$, pak tečným prostorem $T_{x}M$ variety $M$ v bodě $x\in M$ nazveme množinu všech funkcionálů $W:ℱ(M)\to ℝ$ splňujících:

1. $W(\alpha f+\beta g)=\alpha W(f)+\beta W(g),W\in \alpha ,\beta \in ℝ$, $f,g\in ℱ(M)$
2. $W(fg)=f(x)W(g)+g(x)W(f),f,g\in ℱ(M)$

Každý prvek $T_{x}M$ nazveme tečným vektorem $M$ v bodě $x$.

Vlastnosti

Lineární struktura

Definujeme-li na $T_{x}M$ sčítání dvou prvků $W,X\in T_{x}M$, $$(W+X)(f):=W(f)+X(f),f\in ℱ(M)$$ tvoří $T_{x}M$ vektorový prostor. Navíc lze za pomocí vlastností 1 a 2 definice ukázat, že je konečněrozměrný a jeho dimenze je rovna dimenzi variety $M$.

Tečný vektor v lokálních souřadnicích

Pokud máme na varietě $M$ lokální systém souřadnic $(𝒪,y^i)$, $x\in 𝒪$, můžeme tečný vektor $W\in T_{x}M$ rozvinout v bázi souřadnicových vektorových polí ${(\partial /\partial y^i)}_{i=1}^{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}M}$: $$W=\sum _{i=1}^{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}M}W(y^i)\frac{\partial }{\partial y^i}{|}_x$$

Příklad

Obr.2: Tečný vektor křivky $\gamma (t)$ v bodě $x$

Jestliže $\gamma (t):I\to M$ ($I$ je otevřený interval v $ℝ$) je hladká křivka na varietě $M$ procházející bodem $x\in M$ v $t=0$, je zobrazení $$v:f\mapsto \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(f\circ \gamma ){|}_{t=0},f\in ℱ(M),$$ tečným vektorem variety $M$ v bodě $x$ a současně tečným vektorem křivky $\gamma (t)$ v $x$.

Odkazy

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat

Literatura

• Fecko M., Differential Geometry and Lie Groups for Physicists, Cambridge 2006
• Krump L., Souček V., Těšínský J. A.: Matematická analýza na Varietách, skripta MFF UK, Karolinum 1999
• Kowalski O., Úvod do Riemannovy geometrie, Univerzita Karlova, Praha 1995