Věty o izomorfismu

Věty o izomorfismu (Noetherové věty o izomorfismu) jsou v abstraktní algebře, oboru matematiky, matematické věty, které popisují vztah mezi faktorovými algebrami, homomorfismy a podobjekty. Věty existují ve verzích pro grupy, okruhy, vektorové prostory, moduly, Lieovy algebry a jiné algebraické struktury. V univerzální algebře lze věty o izomorfismu zobecnit na kontext algeber a kongruencí.

Historie

Věty o izomorfismu formulovala v určité obecnosti pro homomorfismy modulů Emmy Noetherová ve svém článku Abstrakter Aufbau der Idealtheorie v algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, který byl publikován v roce 1927 v Mathematische Annalen. Méně obecné verze těchto vět lze nalézt v práci Richarda Dedekinda a ve starších odborných článcích E. Noetherové.

O tři roky později publikoval B.L. van der Waerden svoji vlivnou Moderne Algebra, první učebnici abstraktní algebry, která k tématu přistupovala pomocí grup, okruhů a těles. Van der Waerden uvedl jako hlavní pramen přednášky Noetherové o teorii grup a přednášky Emila Artina o algebře, jakož i seminář o ideálech, který vedli Artin, Wilhelm Blaschke, Otto Schreier a sám van der Waerden. Explicitně se jedná o tři věty o izomorfismu nazývané věta o homomorfismu a dva zákony izomorfismu při aplikaci na grupy.

Grupy

Následuje prezentace vět o izomorfismu grup.

Věta A (grupy)

Diagram základní věty o homomorfismu

Nechť G a H jsou grupy, a nechť f : G → H je grupový homomorfismus. Pak:

1. Jádro homomorfismu f je normální podgrupa grupy G,
2. Obraz homomorfismu f je podgrupa grupy H, a
3. Obraz homomorfismu f je izomorfní s faktorovou grupou G / ker(f).

Speciálně pokud f je surjektivní pak H je izomorfní s G / ker(f).

Tato věta se obvykle nazývá první věta o izomorfismu.

Věta B (grupy)

Diagram pro větu B4. Dvě faktorové grupy (tečkované) jsou izomorfní.

Nechť $G$ je grupa. Nechť $S$ je podgrupa grupy $G$, a nechť $N$ je normální podgrupa grupy $G$. Pak platí:

1. Součin $SN$ je podgrupa grupy $G$,
2. Podgrupa $N$ je normální podgrupa grupy $SN$,
3. Průnik $S\cap N$ je normální podgrupa podgrupy $S$, a
4. Faktorové grupy $(SN)/N$ a $S/(S\cap N)$ jsou izomorfní.

Technicky není nezbytné, aby $N$ byla normální podgrupa, pokud $S$ je podgrupa normalizátoru podgrupy $N$ v $G$. V tomto případě $N$ není normální podgrupou grupy $G$, ale $N$ je stále normální podgrupou součinu $SN$.

Tato věta se někdy nazývá druhá věta o izomorfismu,, Šablona:Vjazyce2 nebo Šablona:Cizojazyčně.

Aplikace druhé věty o izomorfismu identifikuje projektivní lineární grupy: například grupa na Riemannově sféře vychází z $G={\mathrm{GL}}_2(ℂ)$, grupa invertovatelných matic 2 × 2 komplexních čísel vychází z $S={\mathrm{SL}}_2(ℂ)$, podgrupa matic s determinantem 1, a $N$ normální podgrupa skalární matice ${ℂ}^{\times }I=\{\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a\end{array}\right):a\in {ℂ}^{\times }\}$, máme $S\cap N=\{\pm I\}$, kde $I$ je jednotková matice, a $SN={\mathrm{GL}}_2(ℂ)$. Pak druhá věta o izomorfismu říká, že:

${\mathrm{PGL}}_2(ℂ):={\mathrm{GL}}_2(ℂ)/({ℂ}^{\times }I)\cong {\mathrm{SL}}_2(ℂ)/\{\pm I\}=:{\mathrm{PSL}}_2(ℂ)$

Věta C (grupy)

Nechť $G$ je grupa, a $N$ normální podgrupa grupy $G$. Pak

1. Pokud $K$ je podgrupa grupy $G$ taková, že $N\subseteq K\subseteq G$, pak $G/N$ má podgrupu izomorfní s $K/N$.
2. Každá podgrupa grupy $G/N$ má tvar $K/N$ pro nějakou podgrupu $K$ grupy $G$ taková, že $N\subseteq K\subseteq G$.
3. Pokud $K$ je normální podgrupa grupy $G$ taková, že $N\subseteq K\subseteq G$, pak $G/N$ má normální podgrupu izomorfní s $K/N$.
4. Každá normální podgrupa grupy $G/N$ má tvar $K/N$ pro nějakou normální podgrupu $K$ grupy $G$ takovou, že $N\subseteq K\subseteq G$.
5. Pokud $K$ je normální podgrupa grupy $G$ taková, že $N\subseteq K\subseteq G$, pak faktorová grupa $(G/N)/(K/N)$ je izomorfní s $G/K$.

Za třetí větu o izomorfismu je někdy označováno jen poslední tvrzení. První čtyři tvrzení se často zahrnují pod níže uvedenou větu D, a říká se jim svazová věta, věta o korespondenci nebo čtvrtá věta o izomorfismu.

Věta D (grupy)

Šablona:Podrobně Nechť $G$ je grupa, a $N$ normální podgrupa grupy $G$. Kanonické projekce homomorfismu $G\to G/N$ definuje bijektivní korespondence mezi množinou podgrup grupy $G$ obsahujících $N$ a množinou (všech) podgrup grupy $G/N$. Při této korespondenci normální podgrupy odpovídají normálním podgrupám.

Tato věta se někdy nazývá věta o korespondenci, svazová věta nebo čtvrtá věta o izomorfismu.

Čtvrtou větou o izomorfismu se někdy nazývá Zassenhausovo lemma (motýlové lemma).

Diskuze

První větu o izomorfismu lze vyjádřit v jazyce teorie kategorií tak, že kategorie grup je (normální epi, mono)-faktorizovatelná; jinými slovy normální epimorfismy a monomorfismy tvoří faktorizační systém kategorie. To je zachyceno v komutativním diagramu na okraji, který ukazuje objekty a morfismy, jejichž existenci lze odvodit z morfismu $f:G\to H$. Diagram ukazuje, že každý morfismus v kategorii grup má jádro ve smyslu teorie kategorií; libovolný morfismus f se dělí na morfismy $\iota \circ \pi$, kde ι je monomorfismus a π je epimorfismus (v konormální kategorii jsou všechny epimorfismy normální). To je znázorněno v diagramu objektem $\ker f$ a monomorfismem $\kappa :\ker f\to G$ (jádra jsou vždy monomorfismy), který doplňují krátkou exaktní posloupnost běžící z dolního levého rohu do horního pravého rohu diagramu. Použití konvence exaktní posloupnosti nás ušetří od nutnosti kreslit nulové morfismy z $\ker f$ do $H$ a $G/\ker f$.

Pokud je posloupnost rozdělena zprava (tj. existuje morfismus σ, který zobrazuje $G/\ker f$ na $\pi$-vzor sebe sama), pak G je semidirektním součinem normální podgrupy $\mathrm{im}\kappa$ a podgrupy $\mathrm{im}\sigma$. Pokud je rozdělen vlevo (tj. existuje nějaký $\rho :G\to \ker f$ takové, že $\rho \circ \kappa ={\mathrm{id}}_{\text{ker}f}$), pak musí také být správně rozděleno, a $\mathrm{im}\kappa \times \mathrm{im}\sigma$ je přímý součin rozklad grupy G. Obecně platí, že existence pravého rozdělení neznamená existenci levého rozdělení; ale v abelovské kategorii (např. v kategorii abelovských grup) jsou levé a pravé rozdělení ekvivalentní podle lemmatu o rozdělení, a pravé rozdělení je postačující pro získání rokladu přímého součtu grupy $\mathrm{im}\kappa \oplus \mathrm{im}\sigma$. V abelovské kategorii jsou také všechny monomorfismy normální, a graf lze rozšířit o druhou krátkou exaktní posloupnost $0\to G/\ker f\to H\to \mathrm{coker}f\to 0$.

Ve druhé větě o izomorfismu je součin SN je spojením S a N ve svazové podgrupě grupy G, zatímco průnik S ∩ N je průsekem.

Lemma devíti zobecňuje třetí větu o izomorfismu na abelovské kategorie a obecnější zobrazení mezi objekty.

Poznámka k číslování a jménům vět

Následující tabulka obsahuje čtyři věty označené A, B, C a D, které jsou obvykle číslované jako „První věta o izomorfismu“, „Druhá...“ atd.; ale různí autoři je číslují různě. V tabulce jsou uvedeny příklady vět o izomorfismu grup v literatuře. Všimněte si, že k těmto větám existují obdoby pro okruhy a moduly.

Porovnání jmen vět o izomorfismu grup

Komentář	Autor	Věta A	Věta B	Věta C
Žádná „třetí“ věta	Jacobson	Základní věta o homomorfismu	(Druhá věta o izomorfismu)	“často označovaná jako první věta o izomorfismu“
	van der Waerden, DurbinŠablona:Refn	Základní věta of homomorfismy	První věta o izomorfismu	Druhá věta o izomorfismu
	Knapp	(Žádné jméno)	Druhá věta o izomorfismu	První věta o izomorfismu
	Grillet	věta o Homomorfismu	Druhá věta o izomorfismu	První věta o izomorfismu
Tři číslované věty	(Jiné konvence než u Grilleta)	První věta o izomorfismu	Třetí věta o izomorfismu	Druhá věta o izomorfismu
	Rotman	První věta o izomorfismu	Druhá věta o izomorfismu	Třetí věta o izomorfismu
	Fraleigh	Základní věta o homomorfismu nebo první věta o izomorfismu	Druhá věta o izomorfismu	Třetí věta o izomorfismu
	Dummit & Foote	První věta o izomorfismu	Druhá věta o izomorfismu (Šablona:Cizojazyčně)	Třetí věta o izomorfismu
Nečíslované	Milne	Věta o homomorfismu	Věta o izomorfismu	Věta o korespondenci
	Scott	Věta o homomorfismu	Věta o izomorfismu	Freshmanova věta

Je méně běžný zahrnout Větu D, obvykle známou jako svazová věta nebo věta o korespondenci, jako jednu z vět o izomorfismu, pokud je však obsažena, je poslední.

Okruhy

Tvrzení vět pro okruhy jsou podobná, ale pojem normální podgrupy je nahrazen pojmem ideálu.

Věta A (okruhy)

Nechť $R$ a $S$ jsou okruhy, a nechť $\phi :R\to S$ je okruhový homomorfismus. Pak:

1. Jádro homomorfismu $\phi$ je ideál okruhu $R$,
2. Obraz homomorfismu $\phi$ je podokruh okruhu $S$, a
3. Obraz homomorfismu $\phi$ je izomorfní s faktorokruhem $R/\ker \phi$.

Speciálně pokud $\phi$ je surjektivní pak $S$ je izomorfní s $R/\ker \phi$.

Věta B (okruhy)

Nechť R je okruh. Nechť S je podokruh okruhu R, a nechť I je ideál okruhu R. Pak:

1. Součet S + I = {s + i | s ∈ S, i ∈ I } je podokruh okruhu R,
2. Průnik S ∩ I je ideál podokruhu S, a
3. Podílové okruhy (S + I) / I a S / (S ∩ I) jsou izomorfní.

Věta C (okruhy)

Nechť R je okruh, a I ideál okruhu R. Pak

1. Pokud $A$ je podokruh okruhu $R$ takový, že $I\subseteq A\subseteq R$, pak $A/I$ je podokruh okruhu $R/I$.
2. Každý podokruh okruhu $R/I$ má tvar $A/I$ pro nějaký podokruh $A$ okruhu $R$ takový, že $I\subseteq A\subseteq R$.
3. Pokud $J$ je ideál okruhu $R$ takový, že $I\subseteq J\subseteq R$, pak $J/I$ je ideál okruhu $R/I$.
4. Každý ideál okruhu $R/I$ má tvar $J/I$ pro nějaký ideál $J$ okruhu $R$ takový, že $I\subseteq J\subseteq R$.
5. Pokud $J$ je ideál okruhu $R$ takový, že $I\subseteq J\subseteq R$, pak podílový okruh $(R/I)/(J/I)$ je izomorfní s $R/J$.

Věta D (okruhy)

Nechť $I$ je ideál okruhu $R$. Korespondence $A\leftrightarrow A/I$ je inkluzi zachovávající bijekce mezi množinou podokruhů $A$ okruhu $R$, které obsahují $I$, a množinou podokruhů okruhu $R/I$. Navíc $A$ (podokruh obsahující $I$) je ideálem okruhu $R$ právě tehdy, když $A/I$ je ideálem okruhu $R/I$.

Moduly

Tvrzení vět o izomorfismu pro moduly jsou zvláště jednoduchá, protože z libovolného podmodulu lze vytvořit podílový modul. Věty o izomorfismu vektorových prostorů (modulů nad komutativním tělesem) a Abelovy grupy (moduly nad $\mathbb{Z}$) jsou jeho speciálními případy. Pro konečněrozměrný vektorové prostory všechny tyto věty vycházejí z věty o dimenzích jádra a obrazu.

V následujícím textu bude „modul“ znamenat „R-modul“ pro nějaký pevný okruh R.

Věta A (moduly)

Nechť M a N jsou moduly, a nechť φ : M → N je modulový homomorfismus. Pak:

1. Jádro homomorfismu φ je podmodul modulu M,
2. Obraz homomorfismu φ je podmodul modulu N, a
3. Obraz homomorfismu φ je izomorfní s podílovým modulem M / ker(φ).

Speciálně pokud φ je surjektivní pak N je izomorfní s M / ker(φ).

Věta B (moduly)

Nechť M je modul, a nechť S a T jsou podmoduly modulu M. Pak:

1. Součet S + T = {s + t | s ∈ S, t ∈ T} je podmodul modulu M,
2. Průnik S ∩ T je podmodul modulu M, a
3. Podílové moduly (S + T) / T a S / (S ∩ T) jsou izomorfní.

Věta C (moduly)

Nechť M je modul, T podmodul modulu M.

1. Pokud $S$ je podmodul modulu $M$ takový, že $T\subseteq S\subseteq M$, pak $S/T$ je podmodul modulu $M/T$.
2. Každý podmodul modulu $M/T$ má tvar $S/T$ pro nějaký podmodul $S$ modulu $M$ takový, že $T\subseteq S\subseteq M$.
3. Pokud $S$ je podmodul modulu $M$ takový, že $T\subseteq S\subseteq M$, pak podílový modul $(M/T)/(S/T)$ je izomorfní s $M/S$.

Věta D (moduly)

Nechť $M$ je modul, $N$ podmodul modulu $M$. Existuje bijekce mezi podmoduly modulu $M$, který obsahuje $N$ a podmoduly modulu $M/N$. Korespondence je dána vztahem $A\leftrightarrow A/N$ pro všechny $A\supseteq N$. Tato korespondence komutuje s procesy nabývání součtů a průniků (tj. je svazovým izomorfismem mezi svazem podmodulů modulu $M/N$ a svazem podmodulů modulu $M$, který obsahuje $N$).

Univerzální algebra

Pro zobecnění této věty na univerzální algebru je nutné nahradit normální podgrupy relací shodnosti.

Kongruence na algebře $A$ je relace ekvivalence $\mathrm{\Phi }\subseteq A\times A$, která tvoří podalgebru algebry $A\times A$ považovanou za algebru s operacemi po složkách. Je možné vytvořit množinu tříd ekvivalence $A/\mathrm{\Phi }$ do algebry stejného typu tím, že definujeme operaci pro reprezentanty tříd; tato operace bude korektně definovaná, protože $\mathrm{\Phi }$ je podalgebrou algebry $A\times A$. Výslednou strukturu nazýváme faktoralgebra nebo podílová algebra.

Věta A (univerzální algebra)

Nechť $f:A\to B$ je algebrový homomorfismu. Pak obraz homomorfismu $f$ je podalgebrou algebry $B$, vztah daný $\mathrm{\Phi }:f(x)=f(y)$ (tj. jádrem homomorfismu $f$) je kongruence na $A$, a algebry $A/\mathrm{\Phi }$ a $\mathrm{im}f$ jsou izomorfní. (Všimněte si, že v případě grup $f(x)=f(y)$ právě tehdy, když $f(x{y}^{-1})=1$, takže se v tomto případě vracíme k pojmu jádra používanému v teorii grup.)

Věta B (univerzální algebra)

Je dána algebra $A$, podalgebra $B$ algebry $A$, a kongruence $\mathrm{\Phi }$ na $A$, nechť ${\mathrm{\Phi }}_B=\mathrm{\Phi }\cap (B\times B)$ je stopa relace $\mathrm{\Phi }$ v $B$ a $[B{]}^{\mathrm{\Phi }}=\{K\in A/\mathrm{\Phi }:K\cap B\ne \mathrm{\varnothing }\}$ kolekce tříd ekvivalence, které protínají $B$. Pak

1. ${\mathrm{\Phi }}_B$ je kongruence na $B$,
2. $[B{]}^{\mathrm{\Phi }}$ je podalgebrou algebry $A/\mathrm{\Phi }$, a
3. algebra $[B{]}^{\mathrm{\Phi }}$ je izomorfní s algebrou $B/{\mathrm{\Phi }}_B$.

Věta C (univerzální algebra)

Nechť $A$ je algebra a $\mathrm{\Phi },\mathrm{\Psi }$ dvě relace shodnosti na $A$ takový, že $\mathrm{\Psi }\subseteq \mathrm{\Phi }$. Pak $\mathrm{\Phi }/\mathrm{\Psi }=\{([a^{\prime }{]}_{\mathrm{\Psi }},[a^{″}{]}_{\mathrm{\Psi }}):(a^{\prime },a^{″})\in \mathrm{\Phi }\}=[{]}_{\mathrm{\Psi }}\circ \mathrm{\Phi }\circ [{]}_{\mathrm{\Psi }}^{-1}$ je kongruence na $A/\mathrm{\Psi }$, a $A/\mathrm{\Phi }$ je izomorfní s $(A/\mathrm{\Psi })/(\mathrm{\Phi }/\mathrm{\Psi }).$

Věta D (univerzální algebra)

Nechť $A$ je algebra a označíme $\mathrm{Con}A$ množinu všech kongruencí na $A$. Množina $\mathrm{Con}A$ je úplný svaz uspořádaný inkluzí. Pokud $\mathrm{\Phi }\in \mathrm{Con}A$ je kongruence, a $⟨\mathrm{\Phi },A\times A⟩\subseteq \mathrm{Con}A$ budeme značit množinu všech kongruencí, které obsahují $\mathrm{\Phi }$ (tj. $⟨\mathrm{\Phi },A\times A⟩$ je hlavní filtr v $\mathrm{Con}A$, který je navíc podsvazem), pak zobrazení $\alpha :⟨\mathrm{\Phi },A\times A⟩\to \mathrm{Con}(A/\mathrm{\Phi }),\mathrm{\Psi }\mapsto \mathrm{\Psi }/\mathrm{\Phi }$ je svazový izomorfismus.

Odkazy

Reference

• Noether, Emmy, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie v algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Mathematische Annalen 96 (1927) pp. 26–61
• McLarty, Colin, „Emmy Noether's 'Set Theoretic' Topology: From Dedekind to the rise of functors“. The architecture of Modern Mathematics: Essays v history and philosophy (editoři Jeremy Gray a José Ferreirós), Oxford University Press (2006) pp. 211–35.
• Šablona:Citace monografie
• Cohn, Paul M., Univeral algebra, Chapter II.3 p. 57
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie