Modul (matematika)

Modul v matematice (zejména v algebře) představuje určitým způsobem zobecnění vektorového prostoru. Zatímco definice vektorového prostoru vyžaduje, aby skaláry byly prvky tělesa, v případě modulu stačí, že skaláry jsou prvky okruhu.

Moduly mají mnoho vlastností podobných vektorovým prostorům, ale například nemusí mít bázi. A i pokud ji mají (takové moduly nazýváme volné), pak nemusí mít tato báze jednoznačně daný počet prvků.

S modulem nesouvisí operace modulo čili zbytek po dělení.

Formální definice

Levý R-modul nad okruhem $R$ je tvořen abelovou grupou $(M,+)$ a operací $R\times M\to M$ (které říkáme skalární násobení), které splňují, že pro všechna $r,s$ z $R$ a $x,y$ z M platí:

1. $r(x+y)=rx+ry$
2. $(r+s)x=rx+sx$
3. $(rs)x=r(sx)$
4. $1x=x$

Definice pravého R-modulu je analogická, ale jako skalární operace se uvažuje $M\times R\to M$. Je-li $R$ komutativní okruh, pak definice splývají a struktura bývá nazývána pouze R-modul.