Komutativní těleso

Komutativní těleso (někdy stručně těleso podle německého Šablona:Cj, někdy též pole z anglického Šablona:Cj) je algebraická struktura, na které jsou definovány dvě binární operace, sčítání a násobení, pro které platí řada určených vlastností. Jedná se o taková tělesa, kde násobení splňuje navíc komutativitu, respektive takové komutativní okruhy, kde navíc existuje inverzní prvek pro obě binární operace (okruh vyžadoval existenci inverzního prvku jen pro operaci +).

Tělesa, ve kterých násobení není komutativní, se nazývají nekomutativní tělesa.

Definice komutativního tělesa

Trojici $(𝒯,+,\cdot )$, kde $𝒯$ je množina a + (sčítání) a $\cdot$ (násobení) jsou binární operace, nazveme komutativním tělesem, je-li $(𝒯,+,\cdot )$ okruh a platí-li navíc

• pro každé $x\in 𝒯\setminus \{0\}$ existuje $y\in 𝒯$ tak, že $x\cdot y=y\cdot x=1$, což značíme $y=x^{-1}$ (existence inverzního prvku k násobení), a
• pro každé $x,y\in 𝒯$ platí $x\cdot y=y\cdot x$ (komutativita násobení).

Tělesa s přídavnou strukturou

Vzhledem k tomu, že tělesa jsou v matematice všudypřítomná, jsou uvažována některá vylepšení konceptu tělesa pro přizpůsobení potřebám konkrétních matematických oblastí.

Topologické těleso

Těleso Šablona:Math se nazývá topologické, když množina Šablona:Math je topologickým prostorem, v kterém všechny operace tělesa (sčítání, násobení, zobrazení Šablona:Math a Šablona:Math) jsou spojitá zobrazení vzhledem k uvažované topologii. Topologie těles obvykle bývá indukována metrikou, tj. funkcí

Šablona:Math

která měří vzdálenosti mezi libovolnými body Šablona:Math. Topologická tělesa jsou speciálním případem topologických okruhů.

Příklady těles

• Racionální čísla $\mathbb{Q}$
• Reálná čísla $ℝ$ a jejich největší algebraické komutativní nadtěleso, komplexní čísla $ℂ$
• Konečná tělesa $\mathrm{GF}(p^n)$
• Racionální funkce nad libovolným komutativním tělesem