Věta o dimenzích jádra a obrazu

Věta o dimenzích jádra a obrazu též zvaná věta o hodnosti a defektu či věta o hodnosti a nulitě je tvrzení z lineární algebry jež uvádí souvislost dimenzí jistých podprostorů vektorového prostoru.

Větu lze zformulovat pro lineární zobrazení:

• je-li dimenze definičního oboru libovolného lineárního zobrazení konečná, potom je rovna součtu dimenze jeho jádra a dimenze jeho oboru hodnot;

a analogicky i pro matice:

• počet sloupců libovolné matice je roven součtu její hodnosti a její nulity.

V důsledku pak platí, že lineární zobrazení mezi vektorovými prostory stejné konečné dimenze je izomorfismem, právě když je prosté (injektivní) nebo je na (surjektivní).

Obraz a jádro lineárního zobrazení $f$ z prostoru $V$ do prostoru $W$.

Formální znění

Pro lineární zobrazení

Nechť $f:V\to W$ je lineární zobrazení mezi dvěma vektorovými prostory, kde prostor $V$ má konečnou dimenzi. Pak platí:

$\dim f(V)+\dim \ker f=\dim V$,

kde $\ker (f)$ značí jádro zobrazení $f$ a symbol $f(V)$ značí podprostor prostoru $W$ shodný s oborem hodnot zobrazení $f$.

Pro matice

Lineární zobrazení mezi prostory konečné dimenze lze reprezentovat maticemi. Matice $𝑨$ typu $m\times n$ nad tělesem $T$ odpovídá lineárnímu zobrazení $f:T^n\to T^m$ danému předpisem $f(𝒙)=𝑨𝒙$. Obráceně, ke každému lineárnímu zobrazení $f:T^n\to T^m$ lze nalézt matici $𝑨$, aby platilo totéž.

Dimenze definičního oboru zobrazení $f$ je $n$, což je počet sloupců matice $𝑨$ a věta o hodnosti a nulitě pro matici $𝑨$ odpovídá vzathu:

$\mathrm{rank}𝑨+\dim \ker 𝑨=n$.

Verze pro lineární zobrazení je obecnější ve dvou ohledech: prostory $V$ a $W$ nemusí být aritmetické $T^n$, resp. $T^m$, a dokonce ani dimenze cílového prostoru nemusí $W$ být konečná.

Navzdory tomu z maticové verze vyplývá i obecnější verze pro zobrazení, protože obor hodnot $f(V)$ je ve $W$ podprostorem konečné dimenze. Pro $V$ i $f(V)$ lze volbou libovolných bází získat podprostory izomorfní $T^n$ a $T^m$, a pak zobrazení $f$ reprezentovat maticí $𝑨$. Volba báze prostoru $V$ udává i izomorfismus mezi jádry $\ker f$ a $\ker 𝑨$, a proto obě jádra mají stejnou dimezi. Vztah vyslovený pro matice se pak přenese i na lineární zobrazení.

Ukázka

Kolmá projekce třírozměrného eukleidovského prostoru ${ℝ}^3$ do roviny dané prvními dvěma osami je lineární zobrazení z prostoru dimenze 3, jehož obor hodnot je dvoudimezionální rovina. Jádrem zobrazení je přímka shodná se třetí osou, čili podprostor dimenze 1.

Vztah uvedený ve větě odpovídá rovnosti:

$\dim f({ℝ}^3)+\dim \ker f=2+1=3=\dim {ℝ}^3$.

Zmíněnému zobrazení $f:{ℝ}^3\to {ℝ}^2$ odpovídá matice

$𝑨=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

Jádro matice tvoří všechny skalární násobky vektoru $(0,0,1{)}^{\mathrm{T}}$, což je podprostor prostoru ${ℝ}^3$ dimenze 1.

Maticová verze věty odpovídá rovnosti:

$\mathrm{rank}𝑨+\dim \ker 𝑨=2+1=3$,

přičemž na pravé straně vychází počet sloupců matice $𝑨$.

Důkazy

Neformální argument pomocí řešení soustav

Hodnost matice $𝑨$ je rovna počtu lineárně nezávislých sloupců. Její jádro je tvořeno množinou řešení homogenní soustavy lineárních rovnic $𝑨𝒙=0$.

Z výpočtu hodnosti i z řešení Gaussovou eliminací vyplývá, že hodnost odpovídá počtu bázických proměnných, zatímco dimenze jádra počtu volných proměnných. Každá proměnná odpovídá jednomu sloupci matice.

Platnost věty pak vyplývá z jednoduchého argumentu, že celkový počet bázických a volných proměnných je roven počtu sloupců dané matice.

Konstrukce bází

Nechť $V,W$ jsou vektorové prostory nad nějakým tělesem $T$, kde $\dim V=n$, a nechť $f$ je lineární zobrazení z $V$ do $W$.

Protože $\ker f$ je podprostorem prostoru $V$, má nějakou bázi $\{{𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_k\}$, kde $k=\dim \ker f$.

Pomocí Steinitzova lemmatu o výměně lze rozšířit množinu vektorů $\{{𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_k\}$ o celkem $n-k$ lineárně nezávislých vektorů ${𝒗}_{k+1},\dots ,{𝒗}_n$ na bázi prostoru $V$.

Zbývá ověřit, že množina $\{f({𝒗}_{k+1}),\dots ,f({𝒗}_n)\}$ je jednou z možných bází prostoru $f(V)$.

Pro libovolný vektor $𝒘\in f(V)$ existuje alespoň jeden vektor $𝒖\in V$ takový, že $f(𝒖)=𝒘$. Vektor $𝒖$ lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze $\{{𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_n\}$ s koeficienty $a_1,\dots ,a_n$:

$𝒖=\sum _{i=1}^n{a}_i{𝒗}_i$

Protože $f$ je lineární zobrazení, lze libovolně zvolený vektor $𝒘$ vyjádřit výrazem:

$𝒘=f(𝒖)=f\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{𝒗}_i\right)=\sum _{i=1}^n{a}_{i}f({𝒗}_i)=\sum _{i=1}^k{a}_{i}f({𝒗}_i)+\sum _{i=k+1}^n{a}_{i}f({𝒗}_i)=\sum _{i=k+1}^n{a}_{i}f({𝒗}_i)$,

a tak vektory $f({𝒗}_{k+1}),\dots ,f({𝒗}_n)$ generují prostor $f(V)$.

Při eliminaci první ze sum byl využit předpoklad, že vektory ${𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_k$ tvoří bázi jádra $\ker f$:

$\sum _{i=1}^k{a}_{i}f({𝒗}_i)=\sum _{i=1}^k{a}_{i}0=0$

V hypotetické situaci, kdyby vektory $f({𝒗}_{k+1}),\dots ,f({𝒗}_n)$ netvořily bázi a byly tudíž lineárně závislé, bylo by možné najít koeficienty $b_{k+1},\dots ,b_n$ netriviální lineární kombinace takové, že:

$\sum _{i=k+1}^n{b}_{i}f({𝒗}_i)=0$

Potom by vektor $𝒖$, daný výrazem $𝒖=\sum _{i=k+1}^n{b}_i{𝒗}_i$, byl netriviálním prvkem jádra, protože:

$f(𝒖)=f\left(\sum _{i=k+1}^n{b}_i{𝒗}_i\right)=\sum _{i=k+1}^n{a}_{i}f({𝒗}_i)=0$

Ovšem $𝒖$ bybylo možné vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze jádra $𝒖=\sum _{i=1}^k{b}_i{𝒗}_i$. V důsledku by vektory ${𝒗}_1,\dots ,{𝒗}_n$ netvořily bázi prostoru $V$, protože by byly lineárně závislé, jak dokládá lineární kombinace:

$\sum _{i=1}^k{b}_i{𝒗}_i-\sum _{i=k+1}^n{b}_i{𝒗}_i=𝒖-𝒖=0$

Proto zkoumaný předpoklad, že by vektory $f({𝒗}_{k+1}),\dots ,f({𝒗}_n)$ byly lineárně závislé, je sporný a ony jsou ve skutečnosti lineárně nezávislé a tudíž tvoří bázi prostoru $f(V)$.

Platnost věty již pak přímo vyplývá z rovnosti:

$\dim f(V)+\dim \ker f=(n-k)+k=n=\dim V$

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace elektronické monografie
• Šablona:Citace elektronické monografie

Související články

• Vektorový prostor
• Lineární zobrazení
• Matice
• Soustava lineárních rovnic