Inverzní matice

Matice v součinu jsou navzájem inverzní, protože jsou čtvercové a výsledkem součinu je jednotková matice.

V matematice je inverzní matice, reciproká matice nebo zkráceně inverze k dané regulární matici taková matice, která při součinu s původní maticí dá jednotkovou matici. Inverzní matice k matici $𝑨$ se značí ${𝑨}^{-1}$. Ne každá čtvercová matice má svou inverzi; invertibilní matice se nazývají regulární matice. Regulární matice reprezentují bijektivní lineární zobrazení a inverzní matice pak odpovídají inverzním zobrazením. Množina regulárních matic pevné velikosti tvoří obecnou lineární grupu s maticovým součinem jako grupovou operací. Inverzní matice je pak odpovídají inverzním prvkům v této grupě.

Inverzní matice se používají v lineární algebře mimo jiné při řešení soustav lineárních rovnic a v některých rozkladech matic.

Výpočet inverzní matice se nazývá invertování nebo též inverze matice a lze jej provést pomocí Gaussovy–Jordanovy eliminace nebo pomocí adjungované matice. Výpočet inverzní matice je důležitý při řešení řady úloh z lineární algebry, statistiky a dalších oborů aplikované matematiky.

Definice

Je-li $𝑨\in R^{n\times n}$ regulární matice se prvky z okruhu s jednotkovým prvkem $R$ (v praxi jde obvykle o těleso reálných čísel ), pak odpovídající inverzní maticí je matice ${𝑨}^{-1}\in R^{n\times n}$, pro kterou platí:

${𝑨𝑨}^{-1}={𝑨}^{-1}𝑨={𝐈}_n$,

kde binární operací je maticový součin a symbol $𝐈$ značí jednotkovou matici stejného řádu $n$ jako má matice $𝑨$. Je-li $R$ je komutativní okruh, těleso nebo i komutativní těleso, jsou obě podmínky ekvivalentní, to znamená, že pravá inverzní matice je zároveň levá inverzní a naopak.

Ukázka

Inverzní matice k reálné matici řádu 2

$𝑨=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 6& 4\end{array}\right)$

je

${𝑨}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -\frac{1}{2}\\ -3& 1\end{array}\right)$,

protože platí:

$𝑨{𝑨}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 6& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -\frac{1}{2}\\ -3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4-3& -1+1\\ 12-12& -3+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)={𝐈}_2$

Inverzní matice k diagonální matici s prvky $d_1,\dots ,d_n\ne 0$ na diagonále se získá pomocí převrácených hodnot diagonálních prvků, protože:

$\mathrm{diag}(d_1,\dots ,d_n)\cdot \mathrm{diag}(d_1^{-1},\dots ,d_n^{-1})=\mathrm{diag}(1,\dots ,1)={𝐈}_{𝐧}$

Vlastnosti

Algebraické vlastnosti

Množina regulárních matic pevného řádu nad okruhem $R$ s jednotkovým prvkem a s maticovým součinem jako binární (ne nutně komutativní) operací tvoří grupu, nazývanou obecnou lineární grupu ${\mathrm{GL}}_n(R)$. Jednotková matice je jejím neutrálním prvkem a inverzní matice odpovídají inverzním prvkům. Inverzní matice jednoznačně definovaná a je inverzní zleva i zprava. Jednotková matice je inverzní sama k sobě:

${𝐈}^{-1}=𝐈$

Inverze k inverzní matici je opět původní matice:

${\left({𝑨}^{-1}\right)}^{-1}=𝑨$

Matice $𝑨$ a ${𝑨}^{-1}$ se proto nazývají navzájem inverzní. Součin dvou regulárních matic je opět regulární a inverze součinu je součinem příslušných inverzí, ale v opačném pořadí:

$(𝑨𝑩{)}^{-1}={𝑩}^{-1}{𝑨}^{-1}$

Pokud lze matici reprezentovat jako součin snadno invertovatelných matic, lze inverzní matici součinu několika matic určit pomocí obecného vzorce:

$({𝑨}_1{𝑨}_2\cdots {𝑨}_k{)}^{-1}={𝑨}_k^{-1}\cdots {𝑨}_2^{-1}{𝑨}_1^{-1}$

pro $k\in \mathbb{N}$ . Vztah platí i pro inverzi mocniny matice:

${\left({𝑨}^k\right)}^{-1}={\left({𝑨}^{-1}\right)}^k$

Uvedená matice se obvykle značí ${𝑨}^{-k}$.

Vlastnosti matic nad tělesy

Pro inverzní matici s prvky z tělesa $T$ platí navíc i následující vlastnosti:

• Pro inverzi násobku matice nenulovým skalárem $c\in T$ platí:

$(c𝑨{)}^{-1}=c^{-1}{𝑨}^{-1}$

• Inverze transpozice matice se rovná transpozici inverzní matice:

${\left({𝑨}^{\mathrm{T}}\right)}^{-1}={\left({𝑨}^{-1}\right)}^{\mathrm{T}}$

• Totéž platí pro hermitovskou transpozici komplexní matice:

${\left({𝑨}^{\mathrm{H}}\right)}^{-1}={\left({𝑨}^{-1}\right)}^{\mathrm{H}}$

• Plná hodnost (neboli regularita) matice se při inverzi zachovává:

$\mathrm{rank}\left({𝑨}^{-1}\right)=\mathrm{rank}(𝑨)=n$

• Pro determinant inverzní matice platí:

$\det \left({𝑨}^{-1}\right)=(\det 𝑨{)}^{-1}$

• Je $\lambda$ vlastní číslo matice $𝑨$ příslušné vlastnímu vektoru $𝒙$, pak ${\lambda }^{-1}$ je vlastní číslo inverzní matice ${𝑨}^{-1}$ a přísluší stejnému vlastnímu vektoru $𝒙$ . Uvedený vztah lze geometricky interpretovat tak, že směr vektoru $𝒙$ zůstává zachován při zobrazení odpovídajícímu matici $𝑨$ i při jemu inverznímu zobrazení odpovídajícímu ${𝑨}^{-1}$.

Invarianty

Některé regulární matice si při inverzi zachovávají své další vlastnosti, například:

• horní a dolní trojúhelníkové matice a striktně horní a dolní trojúhelníkové matice,
• pozitivně definitní a negativně definitní matice,
• symetrické, persymetrické, bisymetrické a středově symetrické matice,
• unimodulární a celočíselné unimodulární matice.

Výpočet

V následujících odstavcích se pro jednoduchost předpokládá, že prvky matice náleží komutativnímu tělesu, aby bylo vždy možné provést příslušné aritmetické operace.

Gaussova–Jordanova eliminace

Reprezentace rovnic

Hledaná inverzní matice ${𝑨}^{-1}$ je řešením maticové rovnice $𝑨𝑿=𝐈$:

$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{x}_{11}& \dots & x_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ x_{n1}& \dots & x_{nn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& & 0\\ & \ddots & \\ 0& & 1\end{array}\right)$

Výpočet $j$-tého sloupce ${𝒙}_j$ inverzní matice odpovídá vyřešení soustavy lineárních rovnic ${𝑨𝒙}_j={𝒆}_j$, kde na pravé straně je $j$-tý vektor ${𝒆}_j$ přirozené báze. Inverzní matici lze pak sestavit ze sloupců ${𝒙}_j=(x_{1j},x_{2j},\dots ,x_{nj}{)}^{\mathrm{T}}$ předpisem:

${𝑨}^{-1}=𝑿=({𝒙}_1|{𝒙}_2|\dots |{𝒙}_n)$

Postup

Inverzní matici lze efektivně spočítat pomocí Gaussovy–Jordanovy eliminace. Hlavní myšlenkou postupu je řešit $n$ soustav lineárních rovnic ${𝑨𝒙}_j={𝒆}_j$ současně. K tomuto účelu se nejprve matice koeficientů $𝑨$ rozšíří o jednotkovou matici $𝐈$ na blokovou matici:

$(𝑨|𝐈)=\left(\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}& 1& & 0\\ ⋮& & ⋮& & \ddots & \\ a_{n1}& \dots & a_{nn}& 0& & 1\end{array}\right)$

Poté je matice $𝑨$ převedena do horního trojúhelníkového tvaru pomocí elementárních řádkových úprav, přičemž jednotková matice $𝐈$ je upravována též:

$(𝑫|𝑩)=\left(\begin{array}{cccccc}*& \dots & *& *& \dots & *\\ & \ddots & ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& & *& *& \dots & *\end{array}\right)$

V tomto okamžiku je možné rozhodnout, zda $𝑨$ má inverzní matici. Matice $𝑨$ je invertibilní, právě když matice $𝑫$ neobsahuje nulu na hlavní diagonále. V takovém případě lze matici $𝑫$ nejprve převést na diagonální tvar pomocí dalších elementárních řádkových úprav a poté ji vhodným škálováním řádků převést na jednotkovou matici. Výsledný tvar blokové matice je:

$(𝐈|{𝑨}^{-1})=\left(\begin{array}{cccccc}1& & 0& x_{11}& \dots & x_{1n}\\ & \ddots & & ⋮& & ⋮\\ 0& & 1& x_{n1}& \dots & x_{nn}\end{array}\right)$,

kde na pravé straně je hledaná inverzní matice ${𝑨}^{-1}$.

Ukázky

Inverzní matice k reálné matici

$𝑨=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)$

lze získat následujícím provedením Gaussovy–Jordanovy eliminace:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 3& 0& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -1& -2& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -3& 2\\ 0& -1& -2& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -3& 2\\ 0& 1& 2& -1\end{array}\right)$

Nejprv je eliminována $2$ pod diagonálou, což se provede odečtením dvojnásobku prvního řádku od druhého řádku. Potom je eliminována $2$ nad diagonálou, což se provede přičtením dvojnásobku druhého řádku k prvnímu řádku. V posledním kroku je pak druhý diagonální prvek normalizován na jedničku, což znamená, že se druhý řádek se vynásobí $-1$. Inverzní maticí k $𝑨$ je:

${𝑨}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 2\\ 2& -1\end{array}\right)$

Inverzní matice k reálné matici

$𝑨=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 4& 1\\ 2& 1& 0\end{array}\right)$

lze získat následujícím provedením Gaussovy–Jordanovy eliminace: Nejprve jsou eliminovány dvě $2$ v prvním sloupci, což se provede odečtením dvojnásobku prvního řádku. Nyní je druhý prvek na diagonále roven $0$, proto se druhý řádek se zamění za třetí, což vede na horní trojúhelníkovou matici:

$\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 0& 1& 0& 0\\ 2& 4& 1& 0& 1& 0\\ 2& 1& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& -2& 1& 0\\ 0& -3& 0& -2& 0& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 0& 1& 0& 0\\ 0& -3& 0& -2& 0& 1\\ 0& 0& 1& -2& 1& 0\end{array}\right)$.

Získaná matice $𝑫$ je regulární, stejně jako $𝑨$. Nyní zbývá eliminovat $2$ nad diagonálou, což se provede přičtením dvou třetin druhého řádku k prvnímu, a druhý řádek vydělit $-3$:

$\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 0& 1& 0& 0\\ 0& -3& 0& -2& 0& 1\\ 0& 0& 1& -2& 1& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& -\frac{1}{3}& 0& \frac{2}{3}\\ 0& -3& 0& -2& 0& 1\\ 0& 0& 1& -2& 1& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& -\frac{1}{3}& 0& \frac{2}{3}\\ 0& 1& 0& \frac{2}{3}& 0& -\frac{1}{3}\\ 0& 0& 1& -2& 1& 0\end{array}\right)$.

Inverzní matice k $𝑨$ je:

${𝑨}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{3}& 0& \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}& 0& -\frac{1}{3}\\ -2& 1& 0\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ 2& 0& -1\\ -6& 3& 0\end{array}\right)$

Korektnost

Fakt, že Gaussova–Jordanova eliminace poskytuje inverzní matici, lze dokázat následovně: Jsou-li elementární matice, se kterými matice $𝑨$ se pomocí $k$ elementárních úprav převede na jednotkovou matici označeny ${𝑬}_1,\dots ,{𝑬}_k$, pak platí:

$𝐈={𝑬}_k\cdots {𝑬}_2{𝑬}_1𝑨$

Nyní lze obě strany této rovnosti vynásobit zprava maticí ${𝑨}^{-1}$, což dává:

${𝑨}^{-1}={𝑬}_k\cdots {𝑬}_2{𝑬}_1𝐈$

Je-li matice $𝑨$ převedena na jednotkovou matici vynásobením zleva několika elementárními maticemi, pak jednotková matice vynásobená stejnou posloupností elementárních matic dává inverzní matici ${𝑨}^{-1}$.

Numerické záležitosti

Pro zvýšení numerické přesnosti se při výpočtech na počítačích provádí obvykle pivotace prvků.

Výpočet inverze k matici řádu $n$ Gaussovou–Jordanovou eliminací má časovou složitost $O(n^3)$.

Adjungovaná matice

Pomocí determinantu $\det 𝐀$matice a adjungované matice $\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}𝐀$ (sestavené z algebraických doplňků) je možné najít inverzní matici použitím vzorce: ${𝐀}^{-1}=\frac{1}{\det 𝐀}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}𝐀$

Uvedený postup umožňuje přímý výpočet každého z prvků inverzní matice. Matice ${𝐀}^{-1}$ má v $i$-tém řádku a $j$-tém sloupci prvek $\frac{(-1{)}^{i+j}\det {𝐀}_{ji}}{\det 𝐀}$, kde ${𝐀}_{ji}$ je submatice získaná z matice $𝐀$ vynecháním $j$-tého řádku a $i$-tého sloupce.

Vztah vyplývá z Cramerova pravidla, pomocí nějž lze přímo zapsat řešení soustavy ${𝑨𝒙}_j={𝒆}_j$:

$x_{ij}=\frac{\det {𝑨}_i}{\det 𝑨}$,

kde matice ${𝑨}_i$ vznikne nahrazením $i$-tého sloupce vektorem ${𝒆}_j$. Laplaceův rozvoj determinantu v čitateli podle $i$-tého sloupce vede ke vztahu:

$x_{ij}=\frac{(-1{)}^{i+j}\det {𝑨}_{ji}}{\det 𝑨}$,

kde ${𝑨}_{ij}$ značí podmatici matice $𝑨$ vzniklou odstraněním $i$ -tého řádku a $j$-tého sloupce (pozor na záměnu pořadí indexů $i$ a $j$ ). Subdeterminanty $\det {𝑨}_{ij}$ jsou také nazývány minory určené maticí $𝑨$. Čísla

$x_{i^{\prime }j}=(-1{)}^{i+j}\det {𝑨}_{ij}$

se nazývají kofaktory matice $𝑨$ a dohromady tvoří kofaktorovou matici $(\mathrm{cof}𝑨{)}_{ij}=x_{i^{\prime }j}$. Transpozice kofaktorové matice se nazývá adjungovaná matice k matici $𝑨$ a značí se $\mathrm{adj}𝑨$. Pomocí adjungované matice lze inverzní matici zapsat vztahem:

${𝑨}^{-1}=\frac{1}{\det 𝑨}\mathrm{adj}𝑨$

Uvedený vzorec platí i pro matice s prvky z komutativního okruhu s jednotkou za předpokladu, že $\det 𝑨$ je jednotkou v daném okruhu.

Vzorce pro matice řádů 2 a 3

Pro matice řádu 2 platí vzorec:

${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{\det 𝑨}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$

Pro matice řádu 3 lze odvodit vzorec:

${\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{\det 𝑨}\left(\begin{array}{ccc}ei-fh& ch-bi& bf-ce\\ fg-di& ai-cg& cd-af\\ dh-eg& bg-ah& ae-bd\end{array}\right)$,

kde $\det 𝑨$ lze vyjádřit např. pomocí Sarrusova pravidla. Uvedeným způsobem lze odvodit vzorce pro inverzi matic vyšších řádů. Jejich zápis i výpočet jsou však příliš složité, a proto se neužívají.

Ukázky

Inverzní matice k následující reálné matici řádu 2 je:

${\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{4-6}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-4& 2\\ 3& -1\end{array}\right)$

Inverzní matice k následující reálné matici řádu 3 je:

${\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{8-2-2}\left(\begin{array}{ccc}4-1& 2-0& 1-0\\ 2-0& 4-0& 2-0\\ 1-0& 2-0& 4-1\end{array}\right)=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 2& 4& 2\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$

Výpočetní složitost

Za předpokladu, že výpočet determinantu matice řádu $n$ vyžaduje $\omega (n^2)$ aritmetických operací, a každý z $n^2$ prvků adjungované matice by byl počítán separátně, by uvedený výpočet inverze matice řádu $n$ měl časovou složitost $\omega (n^4)$.

Inverze blokové matice

Je-li dána bloková čtvercová matice $𝑴=\left(\begin{array}{cc}𝑨& 𝑩\\ 𝑪& 𝑫\end{array}\right)$ kde $𝑨$ i Schurův doplněk $𝑴/𝑨:=𝑫-{𝑪𝑨}^{-1}𝑩$ matice $𝑨$ v $𝑴$ jsou regulární matice, pak $𝑴$ je také regulární matice a platí pro ni:

$𝑴=\left(\begin{array}{cc}𝐈& \mathrm{𝟎}\\ {𝑪𝑨}^{-1}& 𝐈\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}𝑨& \mathrm{𝟎}\\ \mathrm{𝟎}& 𝑴/𝑨\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}𝐈& {𝑨}^{-1}𝑩\\ \mathrm{𝟎}& 𝐈\end{array}\right)$

Z uvedeného vztahu lze vyjádřit inverzní matici:

$\begin{array}{cc}{𝑴}^{-1}& ={\left(\begin{array}{cc}𝐈& {𝑨}^{-1}𝑩\\ \mathrm{𝟎}& 𝐈\end{array}\right)}^{-1}{\left(\begin{array}{cc}𝑨& \mathrm{𝟎}\\ \mathrm{𝟎}& 𝑴/𝑨\end{array}\right)}^{-1}{\left(\begin{array}{cc}𝐈& \mathrm{𝟎}\\ {𝑪𝑨}^{-1}& 𝐈\end{array}\right)}^{-1}\\ & =\left(\begin{array}{cc}𝐈& -{𝑨}^{-1}𝑩\\ \mathrm{𝟎}& 𝐈\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{𝑨}^{-1}& \mathrm{𝟎}\\ \mathrm{𝟎}& (𝑴/𝑨{)}^{-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}𝐈& \mathrm{𝟎}\\ -{𝑪𝑨}^{-1}& 𝐈\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}{𝑨}^{-1}+{𝑨}^{-1}𝑩(𝑴/𝑨{)}^{-1}{𝑪𝑨}^{-1}& -{𝑨}^{-1}𝑩(𝑴/𝑨{)}^{-1}\\ -(𝑴/𝑨{)}^{-1}{𝑪𝑨}^{-1}& (𝑴/𝑨{)}^{-1}\end{array}\right)\end{array}$

Jsou-li naopak $𝑫$ i Schurův doplněk $𝑴/𝑫:=𝑨-{𝑩𝑫}^{-1}𝑪$ matice $𝑫$ v $𝑴$ regulární, pak platí:

$𝑴=\left(\begin{array}{cc}𝐈& {𝑩𝑫}^{-1}\\ \mathrm{𝟎}& 𝐈\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}𝑴/𝑫& \mathrm{𝟎}\\ \mathrm{𝟎}& 𝑫\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}𝐈& \mathrm{𝟎}\\ {𝑫}^{-1}𝑪& 𝐈\end{array}\right)$

a pro inverzní matici:

$\begin{array}{cc}{𝑴}^{-1}& ={\left(\begin{array}{cc}𝐈& \mathrm{𝟎}\\ {𝑫}^{-1}𝑪& 𝐈\end{array}\right)}^{-1}{\left(\begin{array}{cc}𝑴/𝑫& \mathrm{𝟎}\\ \mathrm{𝟎}& 𝑫\end{array}\right)}^{-1}{\left(\begin{array}{cc}𝐈& {𝑩𝑫}^{-1}\\ \mathrm{𝟎}& 𝐈\end{array}\right)}^{-1}\\ & =\left(\begin{array}{cc}𝐈& \mathrm{𝟎}\\ -{𝑫}^{-1}𝑪& 𝐈\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}(𝑴/𝑫{)}^{-1}& \mathrm{𝟎}\\ \mathrm{𝟎}& {𝑫}^{-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}𝐈& -{𝑩𝑫}^{-1}\\ \mathrm{𝟎}& 𝐈\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}(𝑴/𝑫{)}^{-1}& -(𝑴/𝑫{)}^{-1}{𝑩𝑫}^{-1}\\ -{𝑫}^{-1}𝑪(𝑴/𝑫{)}^{-1}& {𝑫}^{-1}+{𝑫}^{-1}𝑪(𝑴/𝑫{)}^{-1}{𝑩𝑫}^{-1}\end{array}\right)\end{array}$

Uvedené vzorce lze využít k paměťově efektivnímu výpočtu inverzí matic velkých rozměrů.

Charakteristický polynom

Inverzní matici lze vyjádřit i pomocí charakteristického polynomu. Je-li $𝑨\in T^{n\times n}$ regulární čtvercová matice a ${\chi }_{𝑨}(t)=c_0+c_{1}t+c_2{t}^2+\dots +c_n{t}^n$ je její charakteristický polynom, pak platí:

${𝑨}^{-1}=-\frac{1}{\det 𝑨}(c_1{𝐈}_n+c_2𝑨+\dots +c_n{𝑨}^{n-1})$

Dosazení matice do polynomu je obdobou dosazení reálného čísla s tím rozdílem, že se používají maticové operace pro součet, násobek i mocninu. ${𝐈}_n$ značí jednotkovou matici řádu $n$.

Vztah vyplývá z Cayleyho–Hamiltonovy věty, která tvrdí, že dosazení matice do svého charakteristického polynomu má vždy za výsledek nulovou matici:

${\chi }_{𝑨}(𝑨)=\mathrm{𝟎}⟺c_0{𝐈}_n+\sum _{i=1}^n{c}_i{𝑨}^i=\mathrm{𝟎}⟺-c_0{𝐈}_n=𝑨\cdot \sum _{i=1}^n{c}_i{𝑨}^{i-1}⟺{𝑨}^{-1}=-\frac{1}{c_0}\sum _{i=1}^n{c}_i{𝑨}^{i-1}$

Ukázka

Charakteristický polynom matice $𝑨=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 5\\ 1& 1& 3\\ 2& 4& 6\end{array}\right)$ řádu 3 je kubický polynom ${\chi }_{𝑨}(t)=t^3-10t^2+3t+8$.

Dosazení do vzorce dává:

$\begin{array}{cc}{𝑨}^{-1}& =-\frac{1}{c_0}\sum _{i=1}^n{c}_i{𝑨}^{i-1}\\ \\ & =-\frac{1}{c_0}(c_1{𝐈}_3+c_2𝑨+c_3{𝑨}^2)\\ \\ & =-\frac{1}{8}(3\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)-10\cdot \left(\begin{array}{ccc}3& 2& 5\\ 1& 1& 3\\ 2& 4& 6\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{ccc}21& 28& 51\\ 10& 15& 26\\ 22& 32& 58\end{array}\right))\\ \\ & =-\frac{1}{8}\left(\begin{array}{ccc}-6& 8& 1\\ 0& 8& -4\\ 2& -8& 1\end{array}\right)\end{array}$

Numerické záležitosti

Obecně se v numerické matematice soustavy lineárních rovnic tvaru $𝑨𝒙=𝒃$ s regulární $𝑨$ neřeší pomocí inverzní matice

$𝒙={𝑨}^{-1}𝒃$,

ale pomocí speciálních metod pro soustavy lineárních rovnic (viz Numerická lineární algebra). Metoda výpočtu pomocí inverze je nejen mnohem složitější, ale i méně stabilní. Zejména pro velmi velké matice se pak používají aproximační metody. Možným přístupem je Neumannova řada, která aproximuje inverzní matici pomocí nekonečné řady

${𝑨}^{-1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(𝐈-𝑨{)}^k$

za předpokladu, že řada konverguje. Částečný součet řady poskytuje přibližnou hodnotu inverzní matice. Pro speciální matice, jako jsou pásmové matice nebo Toeplitzovy matice, existují i jiné účinné metody výpočtu inverze.

Použití

Řešení lineárních algebraických rovnic

Inverzní matici lze využít k řešení některých lineárních algebraických rovnic s maticemi.

Je-li matice $𝐀$ regulární, pak řešení rovnice $𝐀𝐗=𝐁$ lze popsat přímo vztahem $𝐗={𝐀}^{-1}𝐁$.

Speciální matice

Pomocí inverzní matice lze charakterizovat následující třídy matic:

• U samoinverzních matic je inverze rovna původní matici: ${𝑨}^{-1}=𝑨$,
• u ortogonálních matic se inverze shoduje s transpozici: ${𝑨}^{-1}={𝑨}^{\mathrm{T}}$,
• u unitárních matic se inverzní rovná hermitovské transpozici: ${𝑨}^{-1}={𝑨}^{\mathrm{H}}$.

Inverzi lze určit přímo např. pro diagonální matice, Frobeniovy matice, Hilbertovy matice a tridiagonální Toeplitzovy matice.

Matice inverzního zobrazení

Jsou-li dány $V$ a $W$ dva $n$-dimenzionální vektorové prostory nad tělesem $T$ a bijektivní lineární zobrazení $f:V\to W$, pak jemu inverzní zobrazení $f^{-1}:W\to V$ je definováno vztahem:

$f^{-1}\circ f=f\circ f^{-1}=\mathrm{id}$,

kde $\mathrm{id}$ představuje identické zobrazení. Pro matice zobrazení ${𝑨}_f,{𝑨}_{f^{-1}}\in T^{n\times n}$ (vzhledem k pevně zvoleným bázím prostorů $V$ a $W$) pak platí vztah:

${𝑨}_{f^{-1}}={𝑨}_f^{-1}$

Matice inverzního zobrazení je inverzní k matici původního zobrazení.

Duální báze

Je $V$ konečně-rozměrný vektorový prostor nad tělesem $T$, pak odpovídající duální prostor $V^{\ast }$ je vektorový prostor lineárních funkcionálů $V\to T$ . Je-li $\{v_1,\dots ,v_n\}$ báze prostoru $V$, pak odpovídající duální bázi $\{v_1^{\ast },\dots ,v_n^{\ast }\}$ prostoru $V^{\ast }$ lze charakterizovat pomocí Kroneckerova delta:

$v_i^{\ast }(v_j)={\delta }_{ij}$,

kde $i,j\in \{1,\dots ,n\}$. Jestliže ${𝑨}_v=(x_1\mid \dots \mid x_n)$ je matice složená z vektorů souřadnic vektorů $\{v_1,\dots ,v_n\}$, pak odpovídající duální matice ${𝑨}_{v^{\ast }}=(x_1^{\ast }\mid \dots \mid x_n^{\ast }{)}^{\mathrm{T}}$ splňuje:

${𝑨}_{v^{\ast }}={𝑨}_v^{-1}$

Matice souřadnic vektorů duální báze je tedy inverzní maticí k matici souřadnic vektorů primární báze.

Jiné aplikace

Inverzní matice se také používají v lineární algebře, mimo jiné:

• Ve vztazích ekvivalence, například podobnost a ekvivalence matic,
• pro normální formy matic, například Jordanovu normální formu nebo Frobeniovu normální formu,
• v maticových rozkladech, například pro Singulární rozklad,
• při výpočtu podmíněnosti matice regulárních matic.

Zobecnění

Pro singulární a obdélníkové matice lze sestrojit tzv. pseudoinverzi matice.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace elektronické monografie
• Šablona:Citace elektronické monografie

Související články

• Regulární matice
• Determinant
• Hodnost matice
• Pseudoinverze, zobecnění inverzí k singulárním a nečtvercovým maticím
• Diagonalizace, převod matice do diagonální formy pomocí podobnostní transformace

Externí odkazy

• Lineární algebra: práce s maticemi Šablona:Wayback
• Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná) Aplikace, která vypočítá inverzní matici z matice řádu 2-8
• Online výpočet soustav lineárních rovnic
• Šablona:MathWorld